Антология реалистической феноменологии

§ 9. Смысл аргументов Зенона

Анализ возражений Зенона против движения и основополагающих попыток опровержения его аргументов привел нас к примечательному результату, который мы предвидели в самом начале: возникающие трудности относятся не к движению как таковому, а связаны с ним лишь постольку, поскольку оно происходит в пространстве и времени. Только эти две существенные непрерывные формы служат основой парадоксов Зенона. Еще шаг вперед – и мы сможем также исключить время и иметь в виду только пространство, пространственные расстояния, пути и их взаимоотношения. И мы можем позволить себе даже совершенно радикальный способ рассмотрения, абстрагироваться также от самого пространства и сохранить в качестве объекта исследования только непрерывное количество или вообще просто континуум. Каковы, собственно, основные доводы, в которых заключается суть аргументов Зенона?

1. Расстояние, путь, не пройденный путь, а путь, который следует пройти – до какого-либо измерения и какого-либо движения, делим до бесконечности; он содержит актуальную бесконечность точек. Причем совершенно не имеет значения, «составляем» ли мы прямую из бесконечного количества точек или, напротив, рассматриваем ее в качестве первичного единства данности, и ограничиваемся тем, что выделяем в ней точки как вторичные элементы. В обоих случаях мы имеем дело с актуальной бесконечностью. Нам не нужны движение и движущееся: геометрическая прямая с ее актуальной бесконечностью точек уже противостоит для нас всем затруднениям дихотомии.

2. Существует принципиальная возможность установить определенную и взаимную корреляцию между всеми точками пути обоих объектов движения или, обобщеннее, между всеми точками двух отрезков линий различной длины. Очевидно, здесь мы в столь же малой степени, как и в первом случае, имеем дело с движением или с движущимся, но имеем дело единственно с отношениями между геометрическими единствами, между математическими величинами. Следовательно, парадоксы отнюдь не имеют только форономическое значение и форономическую ценность. Они находят значительно более широкое применение – мы могли бы сказать, что они, по сути, содержатся в каждой геометрической, алгебраической и арифметической формуле. Чтобы убедиться в этом, проще всего перевести парадоксы Зенона на математический язык и привести при этом несколько элементарных примеров: [346]

346

Ср. Russell, Principles of Mathematics, Cambridge, 1903, от него мы все же отклоняемся в некоторых местах.

а) Дихотомия. Возьмем переменную Х на отрезке от О до А; тогда аргумент «дихотомия» состоит в указании, что переменная должна проходить в определенной последовательности все величины от О до А.

в) Ахиллес. Две переменные связаны отношением Y = A X. Каждой величине X соответствует одна и только одна величина Y, и наоборот. Несмотря на это, Y возрастает быстрее, чем X, пока, наконец, не становится Y = X + C.

c) Стрела. Переведенный на математический язык аргумент «стрела» означает следующее: все величины одной переменной являются постоянными.

d) Стадий. Этот аргумент еще раз показывает нам, что можно установить однозначное и взаимное соотношение между всеми точками двух или нескольких отрезков линий – невзирая на их данную величину; этот факт выражен формулой Y = A X.

Добавим сюда еще несколько простых примеров, которые позволят нам еще лучше понять смысл парадоксов Зенона, как абстрактных формул, освобожденных от форономических облачений. Мы хотим представить в рамках декартовых координат простейшую мыслимую формулу: Y = X.

Линия, заданная этой формулой, есть, очевидно, прямая. Каждая точка этой прямой с необходимостью имеет соответствующую точку на линии абсцисс, и наоборот: ни одна точка не может отсутствовать, а также ни одна не может соответствовать нескольким. Несмотря на это, O Xn < O Xn Yn. Другой пример, который можно рассматривать как геометрическое представление как «Ахиллеса», так и «стадия»: возьмем две параллельные прямые А и В; если угодно, даже равной величины. Пересечем теперь эти прямые перпендикуляром С, которому мы позволим вращаться относительно лежащей не на параллельных прямых точки О. Очевидно, что каждому положению точки О соответствуют две точки на прямых А и В и что, следовательно, все точки на прямой А находятся в однозначной и взаимной корреляции с точками прямой В – это притом, что соответствующий отрезок на прямой В равен лишь части отрезка на прямой А.

На это нам невозможно возразить, что вращением прямой С мы снова ввели движение; ведь вращающаяся прямая представляет не что иное, как пучок лучей, который исходит из точки О.

Возьмем какую-нибудь кривую линию, например, окружность. Как известно, в каждой точке окружности можно провести касательную, причем можно провести столько касательных, чтобы окружности не была «искривлена» ни в одной точке самой себя. Стало быть, где она тогда искривляется? Совершенно очевидно, что мы снова сталкиваемся с неискоренимой проблемой стрелы – а именно: «где» движется движущееся и как оно вообще движется, когда оно не движется ни в одной точке своего пути? Здесь в случае с окружностью, так же, как и в аргументе Зенона, можно найти выход из положения в отношении данной точки с непосредственно соседней или непосредственно следующей за ней в столь же малой мере (как это сделал Эвеллин), а именно попросту потому, что такой непосредственно соседней или следующей точки вообще нет. Тотчас же перед нами встает проблема «дихотомии», так как кажется невозможным перейти от начального положения к непосредственно следующему, поскольку такого следующего вообще не существует. Итак, как возможно движение?

§ 10. Бесконечное – Декарт

Ранее мы видели, что аргументы Зенона относятся ко всем проблемам и ко всем фундаментальным концепциям геометрии – теперь мы увидим, что они точно так же относятся к арифметике, и что, так сказать, невозможно сделать ни шага в сфере математики, чтобы не столкнуться с «дихотомией». Поскольку аргументы Зенона основываются на очевидных затруднениях, связанных с понятием бесконечного, в этом, собственно, нет ничего удивительного. Мы должны встречать затруднения повсюду, где мы сталкиваемся с концепцией бесконечности – но она находится, так сказать, повсюду, особенно в математике, собственную основу которой она представляет. Следовательно, если мы хотим всерьез признать само по себе противоречие, которое присуще понятию бесконечности, то мы должны также единым махом перечеркнуть все математические науки и осудить не только теорию функций и исчисление бесконечно малых, но также всю Эвклидову геометрию и арифметику.

Но действительно ли понятие бесконечного само по себе противоречиво? Это часто утверждалось, и здесь можно было бы использовать аргументы Зенона в качестве доказательства. Говорилось, что невозможно постичь бесконечное, т. е. незаконченное как актуально наличное, продолжающееся до бесконечности деление, как, тем не менее, осуществленное и законченное! Однако мы полагаем, что эти кажущиеся противоречия являются всего лишь результатом двух заблуждений: отождествления только неопределенного (ind'efini) с бесконечным (infini) и применения к бесконечному финитистических понятий – как например, числовое равенство. Как бы там ни было, эти вопросы были настолько исчерпывающе проработаны и разъяснены в работах Рассела и Кутюра, что нам нет нужды на них останавливаться. Нам фактически продемонстрировано, что понятие актуальной бесконечности никоим образом невозможно вывести или реконструировать из других понятий. Концепции потенциальной бесконечности, бесконечного возрастания или изменения без конца, к которым хотят свести актуальную бесконечность или даже поставить их на место последней, основаны, в свою очередь, на гипотезах, реально предполагающих актуальную бесконечность. Потенциальная бесконечность возможна только в актуальной бесконечности и на ее основе. Только в бесконечности может возрастать и изменяться величина, так же, как и переменная может расти и изменяться до бесконечности. Несомненно, противоречиво рассматривать бесконечное как завершенное, поскольку тогда оно является только чем-то неопределенным, но не актуальной бесконечностью. Или в аристотелевском стиле: вещь не может одновременно находиться в состоянии потенции и в состоянии акта; и акт всегда есть то, что служит основой потенции, а не наоборот. Если на прямой можно обнаружить бесконечное количество точек, то это возможно лишь потому, что они там есть. И если можно считать до бесконечности, то вследствие того, что количество конечных чисел бесконечно. Также актуальную бесконечность предполагает понятие предела, с помощью которого хотят обойти это затруднение [347] и устранить понятие актуальной бесконечности. Что же должно означать, когда точка, величина представляет предел ряда, если не именно то, что мы все еще находим бесконечность точек, бесконечность элементов этого ряда даже весьма близко к пределу, на очень малом расстоянии, каким бы малым ни было различие? Итак, очевидно, что понятие бесконечности входит в определение предела даже дважды: 1. В факторе бесконечного количества точек; 2. В бесконечном приближении к пределу.

347

Например, Дедекинд.

Из вышесказанного следует, что мы должны и можем полагать бесконечное чисто в себе самом – как прафеномен. И при этой возможности стоило бы вспомнить, что хотя теорию актуальной бесконечности по праву связывают с именем Кантора, но она уже задолго до Кантора стала фундаментом философских и математических умозрений. Но также о Больцано, его гениальном предшественнике, который был не понят в свое время, а также забыт потомками, мы в данный момент говорить не хотим, но хотим говорить о великом основателе современной философии и науки: о Декарте, который силой и глубиной взгляда, продуманного еще дальше, чем у Кантора, не только зафиксировал объективную законность «бесконечного» [348] и указал на невозможность поставить на ее место только неопределенное, но и сделал бесконечность принципиальным основанием учения о конечном.

348

Ср. Письма к Мерсенну, 1637.

§ 11. Парадоксы бесконечного – Больцано

Больцано отчетливо признал законность и объективную необходимость актуальной бесконечности. В небольшой книге «Парадоксы бесконечного» (Регенсбург, 1837) он показал парадоксальный характер выводов, которые при этом хотят получить, и одновременно доказал совершенно иллюзорную природу мнимых противоречий, создав понятие эквивалентности, в области бесконечного соответствующее равенству для конечных чисел и сумм. Ибо хотя гипотеза, согласно которой конечное число должно быть равно своей половине, очевидно, противоречива и абсурдна, но никоим образом не в отношении того, что бесконечное целое эквивалентно своей части. Так, например, количество конечных чисел с необходимостью бесконечно, а именно актуально бесконечно – здесь мы должны рассматривать числа в качестве данных до акта счета; несмотря на это, количество всех четных или всех простых чисел нельзя определить – в чем мы легко можем убедиться, если установим однозначное и взаимное сочетание совокупности всех чисел с совокупностью четных или простых чисел. Аналогично этому, количество всех рациональных чисел или даже всех алгебраических чисел не «больше» количества целых чисел. Все эти множества эквивалентны между собой, и количество всех алгебраических чисел не больше количества чисел как таковых в границах О и I, или обобщеннее выраженного в каких-нибудь заданных пределах. Вследствие этой зафиксированности мы легко понимаем, почему возможность сочетать все без остатка точки двух различных отрезков пути ни в коей мере не подразумевает равенства этих отрезков. Эквивалентность не означает равенство; дело в том, что первая относится к бесконечному, а последнее к конечному.