Фейнмановские лекции по гравитации

Эта константа описывает время жизни вселенной; не обязательно мы должны верить в то, что вселенная образовалась T лет назад, скорее эта величина характеризует фундаментальную размерность вселенной, причём значительно в большей степени, чем величина e^2/mc^2 представляет ”радиус электрона”. Аналогично, величина Tc описывает некоторую длину, которая может называться ”радиусом” вселенной. Посмотрим, как можно было бы получить коэффициент порядка 10^2 каким-либо образом из постоянной Хаббла. Мы можем взять для примера отношение времени, которое требуется свету, чтобы пройти расстояние, равное комптоновской длине волны электрона h/mc^2 или протона h/M_pc^2, к постоянной Хаббла, кроме того, мы надеемся, что эта величина представляет собой нечто более значительное, чем просто некоторое количество секунд в нашей человеческой шкале измерений. Эти времена равны соответственно h/mc^2=10^2^1 с, или h/M_pc^2=10^2 с, время жизни вселенной T=10^1 сек, таким образом, это отношение порядка 10^1 для протонов, и можно сказать, пользуясь подобными соотношениями, что эта величина находится не слишком далеко от отношения электрических и гравитационных сил для протона, которое примерно равно 10^3. Если мы рассмотрим электроны, то это отношение равно 10^3, что также не слишком близко к величине 10^2, но мы должны иметь в виду, что мы пустились на самые смелые размышления с целью посмотреть на то, получим ли мы хоть какие-то осмысленные результаты. Можно напомнить такой факт, что П. Дирак [Dira 37, Dira 38] пытался построить некоторую теорию гравитации, в которой гравитационная константа была бы в точности этой величины. Одна из трудностей такой теории состоит в том, что необходимо вводить зависимость от времени силы гравитации, так как вселенная всё время стареет в единицах времени, соответствующих комптоновской длине волны. Однако очень трудно определить, что значит сказать, что силы гравитации зависят от времени, в то время как всё остальное ”остаётся тем же самым”. Так как эти значимые величины являются безразмерными отношениями некоторых физических величин, то эту ситуацию можно было бы описывать, предполагая, что электрический заряд зависит от времени, так что теория на самом деле, не является хорошо определённой. В данный момент попытаемся взглянуть поверх этих трудностей теории и посмотреть, хотя бы интуитивно, какие мы можем вывести следствия из зависимости от времени гравитационной константы. Некоторые учёные говорят, что этот факт может помочь объяснить землетрясения, поскольку, когда гравитационные силы слабеют, Земля слегка вытягивается, и могут возникать трещины. Однако, альтернативная теория, в которой рассматриваются токи в магме, находящейся внутри Земли, лучше описывает то, почему землетрясения происходят в высоко локализованных областях Земной коры. Итак, приятным является то, что некоторые выводы могут использоваться в теории землетрясений.

Можно было бы попытаться опровергнуть идею об изменении гравитационной постоянной G, основываясь на следствиях теории звёзд; мы не будем детально изучать звёзды, однако вкратце можно сказать, какие процессы в них происходят. Вещество звезды падает к центру, выделяемая гравитационная энергия нагревает вещество до температуры, при которой происходят ядерные реакции, а в результате давление сохраняет звезду в состоянии равновесия, энергетические потери компенсируются энерговыделением при ядерных реакциях, и давление не позволяет веществу коллапсировать дальше. Если мы предполагаем, что гравитационная константа зависит от времени и имела большее значение в прошлом, мы должны предположить, что скорость энерговыделения в прошлом была выше для того, чтобы компенсировать больший вес; детальное рассмотрение показывает, что мы могли бы ожидать, что светимость звезды зависит от гравитационной постоянной как G; качественно, если постоянная больше, то больше и центральная температура, необходимая, чтобы силы газового давления поддерживали больший вес вещества, так что ядерные реакции происходят с большим энерговыделением. Мы можем спросить, какое влияние всё это могло бы оказать на наше Солнце и отсюда на поверхностную температуру Земли; мы утверждаем, что имеются некоторые ограничения на поверхностную температуру Земли, исходя из того факта, что на нашей планете жизнь существует (по крайней мере, в каком-то виде) уже 10 лет. Если гравитационная константа раньше была больше, то светимость Солнца была бы больше, согласно закону G, и орбита Земли должна была бы быть ближе к Солнцу, чем сейчас. В этом случае световой поток, падающий на Землю, должен был бы быть пропорционален G. Сейчас мы можем сделать некоторую оценку земной температуры; получить точную оценку довольно трудно, потому что плохо известна отражающая способность поверхности Земли (альбедо), достаточно трудно учесть влияние облаков и другие усложнения подобного рода, но мы можем получить оценку, основываясь на предположении, что Земля является чёрным телом. Чёрное тело испускает энергию, зависящую от температуры поверхности как T, и поскольку Земля вращается, температура приходит в равновесие с энергией, получаемой от Солнца. Если сравнить полученные оценки с имеющимися данными об измеренных температурах поверхностей планет, то это сравнение показывает, что простая оценка оказывается весьма точной (во всех тех случаях, когда поверхностная температура известна). Итак, мы можем использовать эту оценку для получения оценки температуры земной поверхности миллиард лет тому назад, предполагая, что гравитационная константа была в то время на 8% больше. Энергия, падающая на поверхность Земли, связана с температурой в соответствии с законом T, эта энергия связана с гравитационной постоянной как G, таким образом температура поверхности Земли пропорциональна G^2 и на 16%, или на 48°С, была выше миллиард лет тому назад, чем сейчас.

Теперь можно спросить геофизиков и биохимиков, что было бы, если бы температура Земной поверхности была бы такая, как 75°С. Эта температура ещё не достаточно высока, чтобы моря закипели, так что мы ещё не можем отвергнуть полностью такую теорию. Можно предположить, что жизнь действительно зародилась при такой температуре воды. Известны некоторые места на Земле, такие как горячие источники в Йеллоустоне, где некоторые бактерии живут в воде при аналогичных температурах. Это была бы довольно странная жизнь, которая могла бы существовать при таких температурах; найденные древнейшие ископаемые остатки не демонстрируют никаких особенностей, которые могли бы быть разумным свидетельством существования таких больших температур, тем не менее, насколько я знаю, мы не можем предъявить решающего свидетельства против более высокой температуры в более ранние времена.

Существенно большая светимость звёзд в том случае, если бы гравитационная постоянная была больше в прошлом, поменяла бы эволюционные масштабы времени некоторых звёзд. Я знаю, что некоторые астрономы пытаются увидеть, согласуются ли эти выводы с наблюдениями, но я не знаю, получили ли они на этот счёт строгое заключение.

Другое замечательное совпадение, связывающее гравитационную константу с размером вселенной, получается из рассмотрения полной энергии. Полная гравитационная энергия всех частиц вселенной есть что-то вроде GMM/R где R=Tc и T - хаббловское время. На самом деле, если вселенная является сферой с постоянной плотностью, необходимо учесть множитель 3/5, но мы будем пренебрегать им, поскольку наша космологическая модель не во всем хорошо известна. Мы сравним эту величину с общей массой вселенной, Mc^2. И вдруг, о чудо! Мы получаем замечательный результат, GM^2/R=Mc^2, так что полная масса вселенной равна нулю.¹ На самом деле, мы не знаем ни плотности вещества, ни радиуса во вселенной с достаточной точностью для того, чтобы говорить о равенстве, но тот факт, что эти два больших числа должны были бы иметь одинаковые порядки величин, представляет собой поистине замечательное совпадение. Отсюда можно придти к весьма смелой мысли, что это ”ничто” рождает новые частицы, так как мы можем создать их в центре вселенной, где имеется отрицательная гравитационная энергия, равная Mc^2.

¹ Другое решение этого уравнения M=c^3T/G (Прим. перев.)

В этих оценках именно плотность вселенной является наиболее трудным для определения параметром. Мы можем видеть звёзды и галактики, видеть их достаточно много, но не иметь ясной идеи о том, насколько много тёмных звёзд находится там, звёзд, в которых перестали идти реакции ядерного горения. Не знаем мы и плотность межзвёздного газа. У нас имеются некоторые мысли о том, как оценить плотность натрия в пространстве между галактиками, основываясь на измерении поглощения излучения в линиях D, испускаемого удалёнными звёздами. Однако натрий возможно составляет лишь небольшую часть общей массы, и нам необходимо знать плотность водорода. Путём изучения движения спиральных рукавов галактик, шаровых скоплений, выясняется, что галактики имеют в своих центрах большое количество скрытой массы. Всё это не позволяет получить надёжную оценку средней плотности во вселенной. А.Эддингтон для своих оценок в 20-х годах использовал значение 1 атом водорода в см^3 для галактик. Радиоастрономы, которые недавно изучили Галактику в ”свете водорода”, привели несколько меньшую оценку, скажем 0.7 атома водорода в см^3. Нет никаких достоверных данных о плотности межгалактического вещества; космологи предполагают величины в 10 меньшие, чем галактическая плотность, 10 атомов водорода в кубическом метре. Пользуясь этой оценкой, мы получаем чрезвычайно интересный результат, что полная энергия вселенной равна нулю. Почему так должно быть, является одной из величайших тайн - и, следовательно, одним из важнейших вопросов физики. После всего этого можно задать вопрос, что мы должны были бы изучать в физике, если подобные тайны не являются столь важными, чтобы их исследовать.

Все приведённые выше размышления о возможных связях между размером вселенной, количеством частиц и гравитацией не оригинальны и обсуждались ранее. Учёные, обсуждавшие подобные предположения, делятся на два типа: или это очень серьёзные математики, играющие в игры, заключающиеся в построении математических моделей, или скорее всего шутники, забавляющиеся тем, что обращают внимание на некие забавные численные курьёзы со смутной надеждой на то, что всё это возможно когда-нибудь и будет иметь какой-то смысл.

1.3. Квантовые эффекты в гравитации

В следующих нескольких лекциях мы начнём строить квантовую теорию гравитации. Было бы весьма полезно для нас держать в уме, что могли бы представлять из себя любые наблюдательные эффекты в такой теории. Вначале давайте рассмотрим гравитацию как теорию возмущений на атоме водорода. Ясно, что дополнительное притяжение между электроном и протоном приводит к малому изменению в энергии связи водорода; мы можем вычислить это изменение энергии из теории возмущений и получить значение . Известна зависящая от времени волновая функция атома водорода =exp(-iEt) где E - такая величина, которая соответствует частоте порядка 10^1 Гц. Теперь для того, чтобы наблюдать какие-либо эффекты, обусловленные влиянием , мы должны были бы ждать какое-то время до тех пор, пока истинная волновая функция могла бы быть отличима от невозмущённой волновой функции, например на 2 в фазе. Однако величина настолько мала, что для этого необходимо ждать время в 100 раз большее, чем возраст вселенной T. Таким образом, гравитационные эффекты в атомах ненаблюдаемы.

Рассмотрим другую возможность, когда атом удерживается только гравитационными силами. Например, мы хотели бы иметь два нейтрона в связанном состоянии. Когда мы вычисляем радиус Бора такого атома, то получаем, что он должен быть равным 10 световых лет, и энергия связи должна быть равна 10P.¹ Таким образом, надежда обнаружить влияние гравитационных эффектов на системах, которые являются достаточно простыми для того, чтобы можно было провести вычисления в квантовой механике, слишком мала.

¹ Напомним, что внесистемная единица 1 Ридберг выражается следующим образом: 1Р= 13.6 эВ. (Прим. перев.)

Другое предсказание квантовой механики и гравитации должно бы состоять в том, что гравитационная сила могла бы передаваться виртуальным обменом некоторыми частицами, которые обычно называются гравитонами. Следовательно, мы могли бы ожидать, что при определённых обстоятельствах мы могли бы видеть гравитоны, подобно тому, как мы можем наблюдать фотоны. Я хотел бы напомнить, что хотя свет наблюдался существенно раньше в истории человечества (возможно впервые Адамом), до 1898 г. не было осознанного понимания того, что это электромагнитные волны, а квантовые аспекты этих волн наблюдались ещё позже. Мы наблюдаем гравитацию в том смысле, что мы знаем, что она влияет на Землю, но классические гравитационные волны до сих пор не наблюдались; это не является несогласованным с нашими ожиданиями, поскольку гравитация настолько слаба, что нет эксперимента, который мог бы быть сделан сегодня и быть достаточно чувствительным, чтобы обнаружить гравитационные волны, по крайней мере, от таких ожидаемых сильнейших источников, которые могут быть рассмотрены, как быстро вращающиеся двойные звёзды. Квантовый аспект гравитационных волн в миллион раз дальше от порога детектирования, поэтому видимо нет даже надежды наблюдать гравитон.

1.4. О философских проблемах в квантовании макроскопических объектов

Рис. 1.2.

Экстремальная слабость квантовых гравитационных эффектов могла бы теперь поставить некоторые философские проблемы; может быть природа пытается сказать нам что-либо новое, может быть мы не должны пытаться квантовать гравитацию. Возможно ли, что мы не должны настаивать на единообразии природы, чтобы всё могло бы быть проквантовано? Возможно ли, чтобы было так, что гравитация не квантуется, а всё остальное в мире квантуется? Существуют некоторые аргументы, которые были приведены в прошлом, что мир не может быть полуклассическим и полуквантовым. Теперь постулат, который определяет квантово-механическое поведение, заключается в том, что существует амплитуда для различных процессов. Не может быть, следовательно, чтобы частица, которая описывается амплитудой, такая как электрон, имела взаимодействие, которое описывается не амплитудой, а вероятностью. Мы рассмотрим дифракционный эксперимент с двумя щелями и вставим гравитационный детектор, который, как мы предполагаем, является классическим, который в принципе может сказать нам, через какую щель прошёл электрон (рис. 1.2). Представим себе, что детектор ещё не получил сигнал, говорящий нам, через какую щель прошёл электрон; положение электрона описывается амплитудой, половина которой проходит через верхнюю щель, а половина через нижнюю. Если гравитационное взаимодействие передаётся полем, то отсюда следует, что гравитационное поле должно было бы также иметь амплитуду; половина которой соответствует гравитационному полю электрона, проходящему через каждую щель. Но всё это в точности характеристика квантового поля, которое должно было бы описываться амплитудой предпочтительнее, чем вероятностью! Таким образом, кажется, что должно быть невозможным нарушить квантовую природу полей.

Несмотря на эти аргументы, мы хотели бы быть свободными от предубеждений. Ведь всё ещё остаётся возможность, что квантовая теория абсолютно не гарантирует, что гравитация должна быть квантуема. Я хочу, чтобы здесь я был правильно понят, отсутствие предубеждений не значит отсутствие всяких убеждений. Я имею ввиду, что возможно, если мы рассматриваем альтернативные теории, которые не кажутся нам a priori оправданными, и мы вычисляем, что бы имели, если бы такая теория была верна, возможно было бы неожиданным открытием, что такой путь в действительности существует! Мы никогда не сделаем это открытие с позиции, что ”конечно, всегда необходимо наслаждаться возможностью сомнений”, а действовать и вычислять только с одним предубеждением. Рассуждая в этом духе, я хотел бы предположить, что квантовая механика не выполнима при больших расстояниях и для больших объектов. Теперь следите за моими утверждениями, я не говорю, что квантовая механика будет не выполняться на больших расстояниях, я только сказал, что это не является несогласованным с тем, что мы знаем. Если такая несостоятельность квантовой механики связана с гравитацией, то умозрительно рассуждая, мы могли бы ожидать, что это происходит для масс таких, что GM^2/hc, или M~10 г, что соответствует приблизительно 10^1 частиц. Квантовая механика даёт довольно глупые ответы для объектов такого размера; если мы вычислим вероятность того, что песчинка перепрыгнула через стену, то получим такие ответы как 10^2, которые представляются довольно нелепыми. Следовательно, мы не должны пренебрегать рассмотрением того, что возможно квантовая механика не верна для больших масштабов и не выполнима для объектов нормального (немикроскопического) размера. В этой связи мы могли бы обсудить, как теория наблюдения и измерения создаёт некоторые проблемы. Для примера давайте поговорим о придуманном Шрёдингером парадоксе кота. Это не настоящий парадокс в том смысле, что имеется два различных ответа при использовании соответствующих логических рассуждений, это означает, что необходимо отметить наличие философской трудности в квантовой механике, и каждый физик должен решить, какой ответ он предпочитает.