Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Рис. 23.2. При упругом ударе средний шар остаётся на месте
Чтобы убедиться в том, что и такое предположение возможно, вспомним пример другого упругого столкновения, в котором также участвуют три тела: на длинных нитях одинаковой длины подвешены три одинаковых костяных шара, соприкасающихся друг с другом. Один из крайних шаров отклоняют на некоторый угол и отпускают (рис. 23.2а). Оказывается, что после удара отскакивает только один шар, висящий с другого края, а средний шар остаётся на месте (рис. 23.2б). Результат этого опыта говорит о том, что происходящее столкновение нельзя рассматривать как один удар отклонённого шара с системой
При упругом лобовом ударе шаров одинаковой массы налетающий шар останавливается, а покоившийся шар приобретает скорость, равную скорости налетавшего шара. Если предположить, что удар происходит мгновенно, то сразу после первого удара центральный шар уже имеет скорость, но ещё не успел сместиться из того положения, в котором находился до удара. В следующий момент происходит удар центрального шара со вторым крайним. В результате этого удара центральный шар останавливается, а крайний шар приобретает такую же скорость, и затем его нить отклоняется от вертикали.
Если же считать, что первый шар сталкивается с системой из двух неподвижных шаров (как бы скреплённых друг с другом), то в результате такого удара эти два шара должны были бы отскочить с одинаковой скоростью. Но на опыте этого не происходит.
Итак, даже если шары висят вплотную друг к другу, их взаимодействие нужно рассматривать как последовательность отдельных соударений друг с другом.
Результат опыта с тремя шарами нельзя, разумеется, безоговорочно переносить на рассматриваемое столкновение шара с клином и плоскостью, так как и условия опыта, и взаимодействующие тела здесь другие. Однако и здесь можно попробовать рассмотреть два последовательных столкновения: шара с клином и клина с Землёй. При этом запись законов сохранения несколько изменится. Уравнение (1), выражающее сохранение горизонтальной составляющей импульса, остаётся без изменения и в том случае, когда мы рассматриваем только первое столкновение - шара с клином. Но уравнение (2) для вертикальной составляющей импульса должно быть заменено другим, так как после первого удара движется только клин, а не клин вместе с Землёй:
mv
=
MV
.
(6)
Закон сохранения энергии для первого удара запишется в виде
mv^2
2
=
mv^2
2
M(V+V^2)
2
.
(7)
Выражая V из уравнения (1), V из уравнения (6) и подставляя в (7), получаем
v^2
=
v^2
M-m
M+m
.
(8)
Видно, что значение вертикальной скорости отскочившего шара v даваемое выражением (8), меньше значения v из прежнего ответа (5). Это и понятно, ибо теперь клин после первого удара имеет кинетическую энергию, связанную не только с его движением по горизонтали, но и по вертикали. Конечно, приобретя вертикальную составляющую скорости в результате первого удара, клин не успевает переместиться по вертикали, так как сразу же происходит второе столкновение - клина с Землёй. Так как по условию после столкновения клин скользит по горизонтали (а не подскакивает вверх), то его столкновение с Землёй следует считать неупругим. Вертикальная скорость клина гасится при этом столкновении, а соответствующая часть кинетической энергии клина превращается в тепло.
Если бы удар клина о Землю был абсолютно упругим, то вертикальная составляющая скорости клина V изменила бы своё направление на противоположное и клин подскочил бы вверх на некоторую высоту вслед за шаром.
Значение скорости отскочившего шара V из (8) также удовлетворяет предельному случаю m<
Этот вывод связан с тем, что в общем случае при упругом столкновении движущегося тела с неподвижным изменение направления движения налетающего тела в результате удара может быть любым только тогда, когда масса налетающего тела меньше массы «мишени». Если же масса «снаряда» m больше, чем масса «мишени» M, то «снаряд» не может отклониться на угол, превышающий max, который находится из соотношения
sin
max
=
M
m
.
При M<m этот предельный угол всегда меньше /2.
Итак, сама форма ответов не даёт возможности выбрать из них правильный. Соответствие предельным случаям - это необходимое условие правильности ответа, но, разумеется, недостаточное. Можно попробовать поставить дополнительные вопросы, ответ на которые помог бы выбрать правильное решение. Например, здесь можно задать вопрос, какой угол должна составлять наклонная грань клина с горизонтальной, чтобы шар действительно отскочил вертикально вверх.
Построим вектор изменения импульса шара при столкновении q=mv-mv (рис. 23.3). Это изменение импульса вызывается силой, действующей на шар со стороны наклонной грани клина. Поскольку удар упругий и трение отсутствует, то эта сила обязательно направлена перпендикулярно поверхности клина. Теперь из рис. 23.3 сразу видно, что tg =v/v. Так как v<=v, то >=/4, где знак равенства соответствует предельному случаю.
Рис. 23.3. К вычислению угла наклона грани клина
Значение v в приведённых двух решениях задачи получилось разным, поэтому разным будет и угол . Однако предельное значение при m< Так какой же ответ всё-таки правильный? Чтобы разобраться в этом, придётся внимательно проанализировать условия применимости тех допущений, которые были сделаны при решении задачи. Для этого необходимо гораздо глубже вникнуть в механизм энергетических превращений при упругих столкновениях. Поэтому сначала в нескольких следующих задачах будут рассмотрены более простые примеры, а затем мы вернёмся к поставленному вопросу. 24. Длительность удара. Оценить время упругого удара твёрдых тел, рассматривая столкновение стержня, налетающего торцом на неподвижную недеформируемую стенку (рис. 24.1).
Рис. 24.1. Столкновение стержня со стенкой
В предыдущей задаче мы считали, что упругий удар твёрдых тел происходит мгновенно. Но совершенно очевидно, что это предположение является идеализацией. Столкновение реальных тел всегда занимает конечный промежуток времени . В самом деле, если бы изменение импульса тела при столкновении происходило мгновенно, то сила взаимодействия тел при ударе была бы бесконечно большой, чего, естественно, не бывает. От чего же может зависеть длительность столкновения? Допустим, что мы рассматриваем отражение упругого тела от недеформируемой стенки. При столкновении кинетическая энергия тела в течение первой половины столкновения превращается в потенциальную энергию упругой деформации тела. В течение второй половины происходит обратное превращение энергии деформации в кинетическую энергию отскакивающего тела. Поэтому очевидно, что упругие свойства тела играют определённую роль при столкновении.
Итак, можно ожидать, что длительность удара зависит от модуля Юнга материала тела E, его плотности и его геометрических размеров. Возможно, что длительность удара зависит и от скорости v, с которой тело налетает на преграду.
Нетрудно убедиться, что оценить время столкновения с помощью одних только соображений размерности не удастся. Действительно, если даже взять в качестве налетающего тела шар, размеры которого характеризуются только одним параметром - радиусом R, то из величин E, , R и v можно составить бесчисленное множество выражений, имеющих размерность времени: