Физика в примерах и задачах

17. Трансформатор со сложным сердечником.

Рис. 17.1. Трансформатор со сложным сердечником

Сердечник трансформатора имеет симметричную форму, показанную на рис. 17.1. Левая обмотка имеет n витков, правая - n витков. Когда к левой обмотке приложено напряжение U, напряжение на разомкнутой правой обмотке оказывается равным U. Каким будет напряжение на разомкнутой левой обмотке, если то же напряжение U подать на правую обмотку? Считать, что магнитный поток, создаваемый током в любой из обмоток, не выходит из сердечника.

Если бы сердечник трансформатора не имел разветвлений, магнитный поток, пронизывающий каждую из обмоток, был бы одинаков. Если при этом активные сопротивления обмоток малы по сравнению с индуктивными, то у такого трансформатора на холостом ходу отношение напряжений на обмотках равнялось бы отношению чисел витков:

U

U

=

n

n

.

(1)

Естественно, что в этом случае не потребовалось бы задавать напряжение U на правой обмотке, а напряжение U на левой обмотке при подаче на правую напряжения U определялось бы формулой

U

=

U

n

n

.

(2)

Чем отличается работа трансформатора, когда в сердечнике происходит разветвление магнитного потока? Совершенно ясно, что соотношение (1) уже не будет справедливо, поскольку ЭДС, индуцируемая в одном витке, будет различной в правой и левой обмотках. Предположим, что магнитный поток , создаваемый током в левой обмотке, разветвляется так, что сквозь правую обмотку проходит поток =k. Коэффициент k<1 зависит от конструкции сердечника. Таким же коэффициентом k связаны и ЭДС индукции в отдельных витках левой и правой обмоток: E=kE. Поэтому напряжения U и U пропорциональные ЭДС в отдельном витке и числу витков в обмотке, связаны соотношением

U

=

kUn

n

.

(3)

Обратим внимание на то, что это соотношение позволяет найти коэффициент k деления магнитного потока по заданным значениям n, n и U, U. Интересно отметить, что выходное напряжение U может быть меньше подаваемого напряжения U даже при n>n, так как k<1.

Пусть теперь напряжение U подаётся на правую обмотку трансформатора с числом витков n. Так как сердечник симметричен относительно средней линии AA (рис. 17.1), то разветвление магнитного потока, создаваемого током в правой обмотке, будет определяться тем же коэффициентом k Поэтому в рассматриваемом случае напряжение U на разомкнутой левой обмотке связано с напряжением U, подаваемым на правую обмотку, соотношением, аналогичным (3):

U

=

kUn

n

.

(4)

Входящий сюда неизвестный коэффициент k можно исключить, воспользовавшись формулой (3). При этом искомое напряжение окажется выраженным не через подаваемое напряжение U, а через напряжение U существующее на разомкнутой правой обмотке в случае, когда U подаётся на левую обмотку:

U

=

U

(n/n)^2

.

(5)

Разумеется, формуле (2), справедливой для трансформатора с неразветвлённым сердечником, можно придать такой же вид, если выразить U через U с помощью формулы (1). Однако там это делать бессмысленно, поскольку U не является независимой величиной, ибо выражается только через U и отношение чисел витков в обмотках. В трансформаторе с разветвлённым сердечником U зависит ещё и от коэффициента k деления магнитного потока. Убрать этот коэффициент из окончательной формулы (5) удалось ценой того, что искомое напряжение выражено не через подаваемое напряжение U, а через напряжение U. Так как напряжение U не входит в ответ (5), его можно было бы не задавать и в условии задачи, отметив только, что оно одинаково в обоих случаях.

18. Странный вольтметр.

Рис. 18.1. Проводящее кольцо на сердечнике трансформатора

На железный сердечник трансформатора (рис. 18.1) вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением R. К точкам A и B этого кольца, отстоящим друг от друга на 1/3 длины кольца, подключён идеальный вольтметр. ЭДС индукции, наводимая в проводящем кольце, равна E. Что покажет вольтметр?

Рис. 18.2. Замкнутая цепь из одинаковых источников тока

Изменяющийся со временем магнитный поток в сердечнике порождает вихревое электрическое поле, линии напряжённости которого представляют собой окружности, симметрично охватывающие сердечник. При симметричном расположении кольца сторонние силы во всех его участках одинаковы и ЭДС индукции в любом участке кольца пропорциональна длине участка. В частности, на участке AB ЭДС индукции E_AB=1/3E, а на участке BCA E_BCA=2/3E Поэтому может показаться, что данная задача эквивалентна хорошо известной задаче о последовательно соединённых в замкнутую цепь одинаковых источниках тока (рис. 18.2). Легко показать, что напряжение между любыми двумя точками такой цепи равно нулю. В самом деле, применяя закон Ома для участка неоднородной цепи FD, содержащего n элементов, имеем

I

=

U_FD+nE

nr

(1)

С другой стороны, применяя закон Ома ко всей замкнутой цепи из n+m элементов, получаем

I

=

(n+m)E

(n+m)r

E

r

.

(2)

Сравнивая (1) и (2), видим, что U_FD=0. Если к точкам F и D подключить вольтметр, его показание будет равно нулю. Даже если точки F и D соединить накоротко, в цепи ничего не изменится и ток через перемычку не пойдёт.

Казалось бы, и в рассматриваемой задаче о подключении вольтметра к точкам A и B проводящего кольца, охватывающего сердечник трансформатора, мы получим нулевое показание вольтметра, так как и здесь напряжение между любыми двумя точками кольца равно нулю. Однако если провести такое измерение, то результат опыта будет удивителен: мало того, что вольтметр покажет не нуль, но его показания ещё будут зависеть от того, как расположены провода, соединяющие вольтметр с точками A и B, относительно сердечника трансформатора (рис. 18.3).

Рис. 18.3. Два способа подключения вольтметра к точкам A и B

Дело в том, что в схеме с источниками тока (рис. 18.2) цепь самого вольтметра никакой роли не играет, тогда как в рассматриваемом случае (рис. 18.3) вольтметр с подводящими проводами образует контур, в котором также наблюдается явление электромагнитной индукции.

Как известно, показание вольтметра пропорционально протекающему через него току: когда ток через вольтметр равен I_в, показываемое им напряжение U_в равно I_вR_в, где R_в– внутреннее сопротивление вольтметра. Чтобы выяснить, каким будет показание вольтметра при подключении его по первому способу (рис. 18.3а), применим к замкнутому контуру, содержащему участок кольца AB, соединительные провода и вольтметр, второе правило Кирхгофа. Поскольку рассматриваемый контур не охватывает сердечника, то ЭДС индукции в нем равна нулю. В результате уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид

IR

_AB

–

I

_в

R

_в

=

0,

(3)

где I - ток в кольце. Ток I можно считать одинаковым во всех участках кольца, так как по условию вольтметр идеальный, и, следовательно, током, ответвляющимся в вольтметр, можно пренебречь по сравнению с током в кольце. В данном случае это означает, что его сопротивление R_в много больше сопротивления R кольца. Поскольку для всего кольца справедливо