Физика в примерах и задачах
Шрифт:
A
А
+
A
стор
=
0,
т.е.
A
стор
=-
A
А
.
Но сила Ампера равна по модулю и противоположна по направлению внешней силе, приложенной к проводнику. Поэтому работа внешней силы Aвнеш=-AА. Отсюда следует, что работа сторонних сил, реализующаяся в нагрузке, равна работе внешних
Подводя итог, можно сказать, что роль силы Лоренца в электрогенераторе заключается в преобразовании механической энергии в электрическую. .
20. Рамка, падающая в магнитном поле.
Прямоугольная металлическая рамка находится между полюсами электромагнита, создающего постоянное однородное магнитное поле индукции B направленное горизонтально (рис. 20.1). В некоторый момент рамку отпускают, и она начинает падать. Описать дальнейшее движение рамки. Считать, что магнитное поле существует только между полюсами электромагнита.
Рис. 20.1. Металлическая рамка падает в магнитном поле
Прежде всего отметим, что разомкнутая рамка, в которой ток идти не может, падала бы так же, как и в отсутствие магнитного поля, т.е. с постоянным ускорением свободного падения g. То же самое будет происходить и с замкнутой рамкой до тех пор, пока она целиком находится между полюсами магнита, т.е. в области однородного магнитного поля. В самом деле, в этом случае магнитный поток через рамку не изменяется при её поступательном движении, индукционный ток в ней не возникает и никаких сил, кроме силы тяжести, на рамку не действует.
Рис. 20.2. При появлении индукционного тока I возникает сила Ампера F
Но всё изменится, как только нижняя сторона рамки выйдет за пределы полюсов магнита, т.е. области, где существует магнитное поле (рис. 20.2). Теперь при движении рамки пронизывающий её магнитный поток убывает и в рамке течёт индукционный ток. В результате на верхнюю горизонтальную сторону рамки, находящуюся в магнитном поле, действует сила Ампера F. Эта сила, в соответствии с правилом Ленца для индукционного тока, направлена вверх, т.е. стремится уменьшить внешнее воздействие, приводящее к появлению индукционного тока. Ускорение рамки уже не будет равно g. Силы Ампера, действующие на боковые (вертикальные) стороны рамки, направлены в противоположные стороны и не оказывают влияния на её движение.
Поскольку действующая на верхнюю сторону рамки сила Ампера F равна IBl (l - длина этой стороны), то уравнение второго закона Ньютона для падающей рамки имеет вид
mdv
dt
=
mg
–
IBl
.
(1)
Здесь m - масса рамки. Индукционный ток I зависит от сопротивления рамки R и ЭДС индукции Ei. ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока через рамку:
E
i
=
Blv
,
(2)
поэтому
I
=
Blv
R
.
(3)
Подставляя индукционный ток (3) в уравнение второго закона Ньютона (1), получаем
dv
dt
=
g
–
B^2l^2
mR
v
.
(4)
Если
к тому моменту, когда нижняя сторона рамки выходит из магнитного поля, скорость рамки невелика, так что первое слагаемое в правой части (4) больше второго, то рамка продолжает разгоняться, хотя и с меньшим ускорением. Если же рамка уже разогналась настолько, что второе слагаемое больше первого, то она начинает тормозиться.Уравнение (4) имеет такой же вид, как и уравнение, описывающее разгон корабля под действием постоянной тяги винтов при учёте силы сопротивления, пропорциональной скорости корабля (см., например, задачу 9 раздела «Механика жидкостей»). Точно такое же уравнение описывает и процесс падения тяжёлого шарика в вязкой жидкости. Во всех случаях скорость тела изменяется до тех пор, пока сила сопротивления не сравняется по модулю с постоянной внешней силой.
Это значение скорости v соответствующее установившемуся движению, легко найти с помощью (4), даже не решая этого дифференциального уравнения. При установившемся движении dv/dt=0, и для скорости v, приравнивая нулю правую часть (4), получаем
v
=
mgR
B^2l^2
.
(5)
Скорость установившегося падения v можно найти и из энергетических соображений, не прибегая к уравнениям движения. При падении рамки с постоянной скоростью её кинетическая энергия остаётся неизменной, потенциальная энергия уменьшается, и поэтому выделяющаяся в рамке джоулева теплота равна убыли её потенциальной энергии в поле тяжести:
I^2R
=
mgv
.
(6)
Подставляя сюда значение индукционного тока I из формулы (3), приходим к прежнему значению v, выраженному формулой (5).
Сколько времени происходит процесс установления? Успеет ли рамка приобрести значение скорости v, пока её верхняя сторона всё ещё находится в магнитном поле? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно решить уравнение (4). С решением уравнения такого вида мы уже встречались в задаче 13, где речь шла о процессе зарядки конденсатора. Прежде всего, учитывая соотношение (5), перепишем уравнение (4) в более удобном виде:
dv
dt
=-
v-v
,
(7)
где использовано обозначение
=
mgR
B^2l^2
.
(8)
Так как производные по времени от v и (v-v) совпадают, то уравнение (7) говорит о том, что скорость изменения величины v-v пропорциональна самой этой величине. Поэтому решение уравнения (7) имеет вид
v-v
=
C exp(-t/)
.
(9)
Из формулы (9) видно, что значение постоянной C равно отличию начальной скорости v=v при t=0 от скорости установившегося движения рамки v: C=v-v Видно также, что отличие мгновенной скорости от установившейся v-v затухает со временем экспоненциально с характерным временем , определяемым соотношением (8).
Таким образом, зависимость скорости от времени с того момента, как на рамку начинает действовать сила Ампера, согласно выражению (9) имеет вид