Физика в примерах и задачах

Период T, в течение которого осуществляется полный цикл движения рассматриваемого несимметричного маятника, складывается из двух полупериодов, соответствующих гармоническим колебаниям с частотами , и :

T

=

1

+

1

.

(5)

Рис. 4.3. Заштрихованные фигуры, ограниченные графиком зависимости x(t), геометрически подобны

Интересно сравнить между собой максимальные отклонения маятника при его смещениях вправо и влево от положения равновесия. Это можно сделать, например, построив график зависимости смещения груза от времени. Пусть в начальный момент времени t=0 груз смещён вправо от положения равновесия на расстояние A и отпущен без начальной скорости. Пока груз не достигнет положения равновесия, график его движения будет представлять собой часть косинусоиды, соответствующей решению уравнения (2) (рис. 4.3):

x(t)

=

A

cos t

(0<t</2)

.

(6)

После прохождения положения равновесия, т.е. при x<0, график движения будет представлять собой часть другой косинусоиды, соответствующей решению уравнения (4). Эта косинусоида имеет, как мы выяснили, другой период и, разумеется, другую амплитуду A. Однако в точках, где эти косинусоиды сменяют друг друга, они имеют общую касательную (рис. 4.3). В самом деле, наклон касательной на графике зависимости x(t) определяет скорость тела, которая в момент прохождения положения равновесия не меняется. Такие косинусоиды геометрически подобны (см. заштрихованные участки на рис. 4.3), поэтому отношение их амплитуд равно отношению соответствующих полупериодов:

A

A

=

.

(7)

Отсюда после подстановки значений частот и получаем

A

=

A

1+kl/mg

.

(8)

К соотношению (7) можно прийти и из энергетических соображений. Полная механическая энергия рассматриваемой системы сохраняется, и в точках остановки, где отклонения маятника максимальны, она совпадает с потенциальной. Поэтому значения потенциальной энергии в крайних точках одинаковы. Так как действующая сила пропорциональна смещению, то потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения. Коэффициент пропорциональности определяет квадрат частоты колебаний. Поэтому выражение для потенциальной энергии K_п можно записать в виде

K

_п

=

m^2x^2

2

.

Подчеркнём, что данное выражение справедливо как при отклонении груза влево, когда потенциальная энергия - это энергия груза в поле тяжести, так и при отклонении вправо, когда потенциальная энергия системы складывается из энергии груза в поле тяжести и потенциальной энергии растянутой резинки. Разумеется, в формулу (9) в каждом случае следует подставить соответствующее значение частоты или . Если теперь приравнять значения потенциальной энергии в крайних точках слева и справа:

m^2A^2

2

=

m^2A^2

2

,

то немедленно приходим к прежнему соотношению (8).

5. Колебательный контур с источником тока и его механическая аналогия.

Рис. 5.1. Колебательный контур, содержащий источник питания

Источник с ЭДС E и нулевым внутренним сопротивлением соединён последовательно с катушкой индуктивности и конденсатором (рис. 5.1). В начальный момент времени конденсатор не заряжен. Найти зависимость от времени напряжения на конденсаторе после замыкания ключа K. В какой механической системе процесс колебаний будет аналогичен колебаниям в рассматриваемом контуре?

Изучение процессов, происходящих в рассматриваемом контуре, естественно начать с составления уравнения для тока в такой цепи. Все элементы цепи соединены последовательно, поэтому сила тока во всех её участках в данный момент времени одинакова, а сумма напряжений на всех элементах равна ЭДС. Так как по условию внутреннее сопротивление источника тока равно нулю, то

U

_L

+

U

_C

=

E

,

(1)

где U_C– напряжение на конденсаторе, U_L– напряжение на катушке индуктивности.

Напряжение на конденсаторе U_C связано с зарядом q его верхней пластины и его ёмкостью C соотношением U_C=q/C. Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому U_L=L dI/dt. Ток в цепи I, как видно из рис. 5.1, равен скорости изменения заряда верхней пластины конденсатора: I=dq/dt Подставляя ток в выражение для напряжения на катушке и обозначая вторую производную заряда конденсатора q по времени через q, перепишем уравнение (1):

Lq

+

q

C

=

E

.

(2)

Вводя обозначение ^2=1/LC, запишем уравнение (2) в виде

q

+

^2q

=

E

L

.

(3)

Это уравнение отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний с частотой только тем, что в его правой части вместо нуля стоит постоянная величина E/L. Его можно привести к уравнению гармонических колебаний, если сделать простую замену

q

=

Q

+

E

L^2

.

(4)

Так как q=Q, то в результате такой замены правая часть в уравнении (3) пропадает, и оно принимает вид

Q

+

^2Q

=

0.

(5)

Видно, что это действительно уравнение свободных гармонических колебаний с частотой , но только теперь величиной, совершающей синусоидальные колебания, является не заряд пластины q, а введённая соотношением (4) величина Q:

Q(t)

=

Q

cos (t+)

.

(6)

Постоянные Q и должны определяться из начальных условий.

Теперь легко написать выражение для интересующей нас величины q(t). Учитывая, что второе слагаемое в правой части соотношения (4) равно CE. для заряда конденсатора q(t) с помощью (6) получаем

q(t)

=

Q

cos (t+)

+

CE

.

(7)

По условию задачи в начальный момент времени t=0 конденсатор не заряжен, а ключ разомкнут, т.е. тока в цепи нет. Поэтому соответствующие рассматриваемой задаче начальные условия имеют вид

q(0)

=

0

,

I(0)

=

0

.

(8)

Чтобы выбрать постоянные Q и , удовлетворяющие начальным условиям (8), нужно сначала найти с помощью (7) выражение для тока в цепи I:

I(t)

=

dq

dt

=-

Q

sin (t+)

.

(9)

Полагая в формулах (9) и (7) t=0 и учитывая начальные условия (8), получаем уравнения для нахождения Q и :