Физика в примерах и задачах

Q

cos

+

CE

=

0

, -

Q

sin

=

0.

(10)

Из первого соотношения (10) видно, что Q/=0. Тогда из второго соотношения следует, что sin =0, т.е. начальную фазу колебаний можно положить равной нулю. Подставляя =0 в первое соотношение (10), находим Q=-CE Итак, удовлетворяющее начальным условиям (8) решение уравнения (3) имеет вид

q(t)

=

CE

(1-cos t)

.

(11)

Очевидно, что такой же вид имеет и зависимость от времени напряжения на конденсаторе U(t)=q/C.

Рис. 5.2. Зависимость заряда конденсатора и тока в цепи от времени

Графики зависимости заряда конденсатора и тока от времени показаны на рис. 5.2. Из этого графика видно, что заряд конденсатора совершает гармоническое колебание около значения q=CE, соответствующего заряду, который имел бы конденсатор в рассматриваемой цепи (рис. 5.1) в состоянии равновесия. Колебания заряда происходят между значениями q=0 и q=2CE, так что знак заряда каждой пластины не меняется. Колебания тока, в отличие от колебаний заряда, происходят около значения I=0. Максимальное напряжение на конденсаторе равно удвоенной ЭДС источника: U_Cmax=2E.

Может возникнуть вопрос, как это вообще источник с ЭДС E может зарядить конденсатор до напряжения, равного 2E. Это объясняется наличием катушки индуктивности в цепи зарядки: действие ЭДС самоиндукции приводит к тому, что ток в цепи не может обратиться в нуль в тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигает значения, равного ЭДС источника, и конденсатор продолжает заряжаться.

Переходя к обсуждению механической системы, аналогичной рассмотренной электрической цепи, напомним, что колебательному контуру, содержащему индуктивность и ёмкость, можно поставить в соответствие пружинный маятник. При этом заряд конденсатора аналогичен смещению груза, а ток в контуре - скорости движения груза. Упругая пружина является аналогом конденсатора, а движущаяся масса - аналогом катушки индуктивности.

Но в рассмотренной цепи кроме конденсатора и катушки индуктивности есть ещё один элемент - источник питания. Благодаря источнику в такой цепи становится возможным возникновение колебаний даже в том случае, когда в начальный момент и заряд конденсатора, и ток в цепи равны нулю.

Поскольку в электрической цепи в начальный момент времени заряд конденсатора и ток равны нулю, то в механическом аналоге этой схемы в начальный момент пружина должна быть недеформирована, а груз должен покоиться. Остаётся только придумать, что может выполнить роль источника тока в механической системе: механический аналог источника должен привести систему в движение без начального толчка и должен продолжать действовать и дальше в процессе колебаний.

Рис. 5.3. В начальный момент пружина не деформирована и груз неподвижен. Затем подставку выдёргивают.

Нетрудно сообразить, что эту роль в механической системе может сыграть поле тяжести, если пружинный маятник расположить вертикально, подпереть груз подставкой так, чтобы пружина была недеформирована (рис. 5.3), а затем резко выдернуть подставку. Составим уравнение движения для такого маятника. Направим ось x вертикально вниз и будем отсчитывать смещение груза x от начального положения, в котором пружина недеформирована. Тогда проекция силы, действующей на груз со стороны пружины, равна -kx. Так как на груз действует ещё и сила тяжести, то уравнение второго закона Ньютона имеет вид

ma

=

mg

–

kx

.

(12)

Обозначая ускорение пружины, т.е. вторую производную смещения по времени, через x и вводя обозначение ^2=k/m перепишем уравнение (12):

x

+

^2x

=

g

.

(13)

Мы видим, что процессы в механической системе и в рассмотренной выше электрической цепи описываются одинаковыми уравнениями (13) и (3). Одинаковыми будут и начальные условия: отсутствию заряда конденсатора и тока в начальный момент времени в электрической цепи (соотношения (8)) соответствуют равные нулю смещение груза и его скорость в момент выдёргивания подставки:

x(0)

=

0

,

v(0)

=

0

.

(14)

Таким образом, рассматриваемая механическая система действительно представляет собой аналог электрической цепи, и все сопоставляемые в них друг другу величины изменяются со временем по одинаковому закону. Поэтому смещение груза x(t) даётся формулой (11), в которую только вместо величины CE нужно подставить её аналог в механической системе. Из сопоставления уравнений (3) и (13) ясно, что величину E/L следует заменить на g, а величину EC=E/L^2 - на g/^2=mg/k:

x(t)

=

mg

k

(1-cos t)

.

(15)

График зависимости x(t) изображается тем же рис. 5.2. Видно, что колебания груза происходят около значения x=mg/k, соответствующего статической деформации пружины под тяжестью груза, т.е. около положения равновесия системы в поле тяжести.

Интересно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при колебаниях в данной электрической цепи и в поставленной ей в соответствие механической системе. До замыкания ключа, пока заряд конденсатора и ток в катушке индуктивности равны нулю, электрическое поле в конденсаторе и магнитное поле в катушке отсутствуют, т.е. равны нулю соответствующие им энергии. Точно так же до выдёргивания подставки в механической системе упругая потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия груза равны нулю. После выдёргивания подставки груз под действием силы тяжести устремляется вниз, приобретая скорость и кинетическую энергию. Одновременно растёт деформация пружины и связанная с ней упругая потенциальная энергия. После прохождения положения равновесия x=mg/k скорость и кинетическая энергия груза начинают убывать, и в крайней нижней точке x=2mg/k кинетическая энергия обращается в нуль. Упругая потенциальная энергия пружины E_п=kx^2/2 достигает в этот момент наибольшего значения E_п=2m^2g^2/k Весь этот запас упругой энергии пружина приобрела за счёт работы силы тяжести. В самом деле, при опускании груза его потенциальная энергия в поле тяжести уменьшилась как раз на такую же величину mg·2mg/k В течение следующей половины периода происходит обратное превращение потенциальной энергии упругой деформации пружины в потенциальную энергию груза в поле тяжести.

Совершенно аналогичные превращения энергии происходят и в электрической цепи. В течение первой половины периода за счёт работы, совершаемой источником тока, появляется энергия магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора, причём к концу этого промежутка времени вся эта энергия оказывается сосредоточенной в конденсаторе. В течение второй половины периода происходят обратные превращения энергии, и вся энергия возвращается в источник тока. Очевидно, что это возможно только потому, что внутреннее сопротивление источника равно нулю. Другими словами, все процессы в источнике обратимы и прохождение заряда через него не связано с выделением тепла.

Рис. 5.4. В цепи с сопротивлением колебания заряда конденсатора затухают

Однако любой реальный источник тока (как, впрочем, и катушка индуктивности с соединительными проводами) обладает сопротивлением. Поэтому при происходящих процессах неизбежно выделяется теплота и энергетические превращения необратимы. Колебания в действительности будут затухающими (рис. 5.4), так что в конце концов напряжение на конденсаторе станет равным ЭДС источника,

В реальной механической системе всегда присутствует трение. Поэтому и здесь неизбежно выделение теплоты, т.е. превращения механической энергии также необратимы. Колебания будут затухающими, и груз в конце концов установится в положении равновесия x=mg/k.

6. Двойной маятник.

Точка подвеса A двойного маятника совершает гармонические колебания с малой амплитудой в горизонтальном направлении (рис. 6.1). Длина нижней нити равна l, масса нижнего шарика равна m, верхнего - M. Каким должен быть период колебаний точки подвеса A, чтобы верхняя нить всё время оставалась вертикальной?