Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Рис. 6.1. Точка подвеса A совершает гармонические колебания с такой частотой, что верхняя нить всё время остаётся вертикальной
Рассмотрим систему шариков m и M, соединённых нитью длины l. Допустим, мы подобрали такой период колебаний T точки подвеса A, что при колебаниях нашего двойного маятника верхняя нить всё время остаётся вертикальной. Это значит, что все внешние силы, действующие на выделенную систему, а именно силы тяжести и сила натяжения верхней нити, направлены по вертикали. Отсюда следует, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении. Другими
a
a
=
M
m
.
(1)
Рис. 6.2. Если верхняя нить при колебаниях остаётся вертикальной, то центр масс шаров B не перемещается по горизонтали
С другой стороны, непосредственно из рис. 6.2 видно, что
a
a
=
s
l-s
(2)
Сравнивая (1) и (2), находим
s
=
l
1+m/M
.
(3)
Попытаемся теперь представить себе, что это за колебания. Ускорения обоим шарам сообщает горизонтальная составляющая силы натяжения нижней нити. Поскольку точка B (центр масс шаров) по горизонтали не перемещается, движение нижнего шара приближённо можно представить себе как свободные колебания математического маятника длиной s. Строго говоря, точка B совершает перемещения по вертикали, однако при небольшой амплитуде колебания маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.
Период колебаний математического маятника длиной s равен T=2s/g Подставляя сюда s из формулы (3), получаем
T
=
2
l
g(1+m/M)
1/2
.
Заметим, что точно такие же колебания шаров можно получить, если верхний шар не подвешивать на нити, а насадить на гладкий горизонтальный стержень, по которому он может скользить без трения. Сила реакции такого стержня направлена всё время вертикально вверх и выполняет ту же роль, что и сила натяжения верхней вертикальной нити, - поддерживает верхний шар на одном и том же уровне, не сообщая ему никакого горизонтального ускорения. Отсюда ясно, что ответ не зависит от длины верхней нити.
Интересно отметить, что рассматриваемые нами колебания этой системы шаров не являются вынужденными: при отсутствии трения это есть свободные незатухающие колебания. Силу натяжения верхней нити нельзя рассматривать как «вынуждающую», так как, будучи перпендикулярной перемещению, эта сила работы не совершает, т.е. энергия к системе не подводится.
7. Часы на длинных шнурах.
Часы массой M имеют маятник в виде невесомого стержня длиной l с точечной массой m на конце. Как изменится ход этих часов, если их подвесить на длинных параллельных шнурах (рис. 7.1)?
Рис. 7.1. Часы на длинных шнурах
Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закреплённых на стене, получают возможность раскачиваться. Если шнуры параллельны, движение корпуса часов будет при таких раскачиваниях поступательным. Это означает, что все точки корпуса часов, в том числе и центр масс корпуса, и точка подвеса маятника, движутся одинаково.
Предположим,
что амплитуда раскачивания часов достаточно мала, так чтобы можно было считать шнуры всё время вертикальными. Тогда, как и в предыдущей задаче, все действующие на рассматриваемую систему - часы с маятником - внешние силы направлены по вертикали, ибо, кроме сил натяжения шнуров, действуют только силы тяжести корпуса часов и маятника. Значит, центр масс всей системы по горизонтали перемещаться не будет.
Рис. 7.2. Смещение груза маятника и корпуса часов при колебаниях
Теперь ясно, что колебания маятника и корпуса часов будут происходить с одинаковой частотой и в противофазе, так, чтобы центр масс всё время оставался на одной вертикали. При этом смещение s (рис. 7.2) груза маятника и смещение s корпуса часов (в том числе и точки подвеса маятника) будут обратно пропорциональны их массам:
s
s
=
M-m
m
.
(1)
Из формулы (1) видно, что при m< Приведённые рассуждения показывают, что для нахождения периода колебаний рассматриваемой системы можно непосредственно воспользоваться результатом решения задачи 6, заменив там, конечно, массу верхнего груза M на массу корпуса M-m: T = 2 l g[1+m/(M-m)] 1/2 = 2 l g 1 – m M 1/2 . (2) Обозначая через T период колебаний маятника длиной l в неподвижных часах (T=2l/g) и учитывая условие m/M<<1, формуле (2) можно придать вид T = T 1 – m 2M . (3) Подвешенные на шнурах часы будут спешить. Интересно отметить, что относительное изменение периода |T| T = T-T T = m 2M не зависит от длины маятника. Если, например, M=5 кг, m=200 г, то уменьшение периода составляет 2% и за сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперёд почти на полчаса. 8. Собственные колебания двойного маятника. У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Маятник выведен из равновесия таким образом, что при его дальнейшем свободном движении каждый из шариков совершает гармоническое колебание. Какова частота таких колебаний и каким образом их можно возбудить? Если двойной маятник вывести из равновесия произвольным образом и предоставить самому себе, то каждый из шариков будет, вообще говоря, совершать довольно сложное движение, в котором трудно уловить какую-либо закономерность. Однако при некоторых начальных условиях движение маятника оказывается очень простым: оба шарика совершают чисто гармоническое колебание с одной и той же частотой, причём амплитуды и фазы этих колебаний находятся во вполне определённом соотношении друг с другом. Такие типы движения называются нормальными колебаниями системы или её модами.