Физика в примерах и задачах
Шрифт:
d
=
d
cos
=
L
cos
.
Рис. 2.3. Форма зайчика, когда стена далеко от отверстия
С увеличением размеров отверстия (т.е. зеркала) освещённость пятна возрастает (зайчик становится ярче), но одновременно его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия d. Таким образом, солнечный зайчик имеет эллиптическую (или круглую) форму, если d<
Из приведённого решения ясно, что безразмерным
=
=
L
d
.
При <<1 реализуется первый из рассмотренных случаев, при >>1 - второй.
Проведённое рассмотрение целиком основывалось на законе геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Исчерпывающее решение должно учитывать дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны к размеру отверстия d:
=
d
(подробнее об этом см. в задаче «Фокусировка фотоаппарата»), Дифракционные эффекты не влияют на форму солнечного зайчика, если угол мал по сравнению с угловым размером Солнца :
d
<<
.
Считая 5·10– 7 м, 0,01, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер d зеркала превышает 5·10– 5 м.
3. Преломление света в стеклянном клине.
Рис. 3.1. Преломление лучей в стеклянном клине
Свет падает по нормали на грань стеклянного клина с малым углом при вершине (рис. 3.1). На какой угол повернутся лучи преломлённого клином света при повороте падающих лучей на небольшой угол вокруг ребра клина?
Рис. 3.2. К определению угла поворота луча
Ответ на поставленный вопрос можно получить, последовательно применяя закон преломления света на плоской границе раздела двух сред. Так как по условию все фигурирующие в задаче углы малы, то их синусы в законе преломления можно заменить самими углами, выраженными в радианной мере. Лучи, падающие нормально на переднюю грань клина, испытывают преломление только на задней грани, угол падения на которую равен преломляющему углу клина (рис. 3.2). Если угол поворота этих лучей обозначить через , то
n
sin
=
sin(+)
,
(1)
откуда для малых значений углов и следует
n
+
,
т.е.
(n-1)
.
(2)
Лучи, падающие на переднюю грань наклонно (под углом ), испытывают преломление на обеих гранях клина (рис. 3.2). На передней грани
sin
=
n sin
,
(3)
откуда угол преломления на передней грани /n. На задней грани клина выполняется соотношение
n
sin(+)
=
sin(+)
,
откуда
n
(+)
+
,
(4)
т.е.
угол преломления на задней грани n+(n-1). Учитывая, что вследствие (3) n=, имеем+
(n-1)
.
(5)
Угол поворота преломлённых лучей, как видно из рис. 3.2, равен разности углов и :
–
=
.
Таким образом, преломлённый луч поворачивается на такой же угол, что и падающий.
Фактически ответ на поставленный в условии задачи вопрос содержится уже в формуле (5), поскольку разность - как видно из рис. 3.2, даёт угол отклонения лучей от их первоначального направления при прохождении света через клин. Из (5) следует, что -=(n-1), т.е. при малых углах угол отклонения не зависит от угла падения .
Рис. 3.3. Поворот волнового фронта при преломлении света в клине
Угол отклонения -, выражаемый формулой (5), можно найти без использования закона преломления, если воспользоваться принципом Гюйгенса или принципом Ферма. На рис. 3.3 штриховыми линиями показаны положения волновых поверхностей для падающей и отклонённой клипом плоских волн. Поворот волнового фронта обусловлен уменьшением фазовой скорости света в стекле в n раз. Время прохождения света на участке CFD равно времени на участке AB. Поэтому должны быть равны оптические длины этих участков:
|CF|
+
n|FD|
=
|AB|
.
(6)
Волновой фронт отклонённой волны образует угол с передней гранью клина. Поэтому с задней гранью он образует угол + Теперь с помощью рис. 3.3 соотношение (6) можно переписать в виде
L
+
n
L
=
L(+)
(
здесь
L
=
|AF|
|AE|
),
откуда сразу следует формула (5).
4. Рентгеновское излучение в медицине.
Известно, что в тканях организма видимый свет поглощается гораздо слабее, чем рентгеновское излучение. Почему же в медицине для диагностики используют именно рентгеновское излучение, а не излучение видимой области спектра?
В условии сказано лишь о том, что рентгеновское излучение в человеческом организме поглощается сильнее, чем видимый свет. И если бы возможность «просвечивать» определялась только поглощением, то рентгеновское излучение не давало бы никаких преимуществ по сравнению с видимым. Значит, дело не только в степени поглощения излучения, а ещё и в каких-то других особенностях его распространения в организме. С чем же могут быть связаны эти особенности?
Прежде всего вспомним, что организм представляет собой неоднородную среду из граничащих друг с другом тканей с разными оптическими свойствами. Для распространения видимого света эти неоднородности оказываются чрезвычайно существенными. Их роль можно понять на простейшем примере: мы хорошо видим рыбок в аквариуме сквозь толщу чистой воды, однако ничего не видим в густом тумане, состоящем из мелких капелек столь же чистой и прозрачной воды, взвешенных в совершенно прозрачном воздухе. Почему?