Физика в примерах и задачах

Чтобы отброшенное слагаемое xX в (8) было мало по сравнению со вторым членом pX, нужно, чтобы продольный размер предмета x был мал по сравнению с расстоянием p от предмета до фокуса: x<

Таким образом, когда продольный размер предмета x мал по сравнению с расстоянием p до фокуса, продольное увеличение линзы , в соответствии с формулой (4), даётся выражением (9):

=

p

q

.

(10)

Сравнивая формулы (6) и (10), видим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения:

=

^2

.

(11)

Отсюда следует, что изображение будет геометрически подобным предмету только тогда, когда ==1. Для сохранения геометрического подобия предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Во всех остальных случаях геометрического подобия не будет.

Итак, если мы хотим с помощью тонкой линзы получить изображение объёмного предмета, геометрически подобное самому предмету, то продольные размеры предмета должны быть малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить его нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.

6. Фокусировка пучка параллельных лучей.

Рассмотрим параллельный пучок монохроматических лучей. Если на пути такого пучка поставить собирающую линзу со сферическими поверхностями, то, как известно, все лучи соберутся в одной точке, называемой фокусом. Однако это верно лишь для узкого пучка, т.е. для лучей, не слишком сильно отстоящих от оптической оси. Это значит, что ширина пучка должна быть мала по сравнению с радиусом кривизны преломляющих поверхностей линзы. Для широких пучков имеет место сферическая аберрация, т.е. «далёкие» лучи пересекают оптическую ось не в фокусе (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Сферическая аберрация обыкновенной линзы

А нельзя ли выбрать форму преломляющих поверхностей линзы таким образом, чтобы сферическая аберрация вообще отсутствовала, т.е. пучок параллельных лучей любой ширины собирался бы в одной точке?

Рис. 6.2. К нахождению формы преломляющей поверхности, которая фокусирует пучок параллельных лучей

Для решения этой задачи удобно воспользоваться принципом Ферма. Предварительно решим вспомогательную задачу. Выясним, какой должна быть форма преломляющей поверхности, разделяющей две однородные среды с показателями преломления n=1 и n, чтобы параллельный пучок лучей после преломления собрался в одной точке. Из соображений симметрии ясно, что это будет поверхность вращения вокруг оси симметрии пучка. Поэтому достаточно искать сечение этой поверхности осевой плоскостью (рис. 6.2). Поскольку у всех лучей на оси x фаза одинакова, оптическая длина лучей от оси x до фокуса, лежащего на заданном расстоянии F, должна быть одна и та же.

Рассмотрим центральный луч и луч, проходящий на произвольном расстоянии x от оси. Для них имеем

Fn

=

y

+

n

(F-y)^2+x^2

.

Это и есть уравнение искомой поверхности.

Преобразуем это соотношение, чтобы выяснить форму полученной поверхности. Уединяя квадратный корень, и возводя обе части равенства в квадрат, получаем

(Fn-y)^2

=

n^2[

(F-y)^2

+

x^2]

.

После несложных преобразований это уравнение приводится к виду

x^2

a^2

+

(y-b)^2

b^2

=

1,

(1)

где

a

=

F

n-1

n+1

1/2

,

b

=

F

n

n+1

(a<b)

.

(2)

Уравнение (1) - это уравнение эллипса, изображённого на рис. 6.3, a и b - малая и большая полуоси этого эллипса.

Рис. 6.3. Пучок параллельных лучей после преломления на поверхности эллипсоида вращения собирается в дальнем фокусе

Как известно, эллипс - это геометрическое место точек, сумма расстояний до которых от двух заданных точек, называемых фокусами, одинакова. Эта сумма равна большой оси эллипса 2b. Можно убедиться, что точка пересечения всех лучей (фокус пучка лучей) совпадает с дальним фокусом эллипса. Это совсем несложно, требуется лишь выполнить простые алгебраические преобразования.

Итак, мы нашли форму преломляющей поверхности, удовлетворяющей поставленному условию: все падающие на неё параллельным пучком лучи собираются в одной точке. Однако такой параллельный пучок не может быть сколь угодно широким: при заданном расстоянии F ширина пучка d не может, как видно из формулы (2), превышать значение

d

=

2a

=

2F

n-1

n+1

1/2

.

Теперь подумаем, как с помощью такой преломляющей поверхности можно создать линзу, свободную от сферической аберрации для параллельного пучка лучей. Очевидно, что вторая преломляющая поверхность такой линзы должна быть перпендикулярна всем сходящимся лучам, так как только в этом случае ома не изменит их направления и все лучи по-прежнему будут пересекаться в одной точке F. Такой поверхностью является сфера с центром в точке F. Чтобы получить линзу максимального диаметра при заданном расстоянии F, радиус R кривизны её внутренней поверхности следует выбирать равным большой полуоси эллипса b (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Вторая поверхность фокусирующей линзы должна быть частью сферы, перпендикулярной лучам

До сих пор молчаливо предполагалось, что показатель преломления n>1, т.е. верхняя среда на рис. 6.2 оптически более плотная.

Однако если под символом n понимать относительный показатель преломления верхней среды относительно нижней, то имеет смысл рассмотреть и противоположный случай n<1, когда параллельный пучок лучей испытывает преломление при переходе из более плотной в менее плотную среду. Поскольку при выводе уравнения преломляющей поверхности условие n>1 не использовалось, то и в случае n<1 уравнение искомой границы по-прежнему даётся формулой (1), но только при n<1, как видно из (2), a^2<0. В этом случае выражение (1) представляет собой уравнение гиперболы, изображённой на рис. 6.5.

Рис. 6.5. При n<1 фокусирующая параллельный пучок поверхность представляет собой гиперболоид вращения

Чтобы с помощью такой преломляющей поверхности создать линзу, в качестве второй преломляющей поверхности следует выбрать плоскость в нижней среде, перпендикулярную оси пучка. Расстояние от этой плоскости до вершины преломляющей поверхности выбирается в зависимости от того, какого диаметра мы хотим иметь линзу. Ограничений на размер диаметра теперь нет (штриховая прямая на рис. 6.5).

Казалось бы, нам удалось построить идеальную линзу, по крайней мере для монохроматических лучей. Однако такая линза совершенно непригодна для получения изображений даже бесконечно удалённых предметов. В самом деле, в одной точке пересекаются только лучи, параллельные оси симметрии такой линзы. Пучки параллельных лучей, наклонённые к оптической оси линзы, не пересекаются в одной точке.

7. Черенковское излучение.

При равномерном движении электрона в среде со скоростью, превышающей скорость света в данной среде, наблюдается так называемый эффект Вавилова - Черенкова. Он заключается в том, что электрон своим полем когерентно возмущает молекулы или атомы среды, благодаря чему они становятся источниками световых волн, распространяющихся в определённом направлении. Пользуясь принципом Гюйгенса, определите, в каком направлении распространяется излучение.