ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Ахилл: Мне кажется, справедливей называть это «свойством Ахилла». В конце концов, эту задачу предложил я!

Черепаха: Я собиралась предложить, чтобы мы считали, что число, у которого НЕТ свойства Черепахи, обладает «свойством Ахилла».

Ахилл: А, ну ладно…

Черепаха: Как вы думаете, обладает ли триллион свойством Гольдбаха или свойством Черепахи? Разумеется, он может иметь оба свойства…

Ахилл: Я, конечно, могу над этим подумать, но сомневаюсь, чтобы я мог ответить на ваши вопросы.

Черепаха: Не сдавайтесь так быстро. Представьте, что я попросила вас ответить на один из них. Над каким вопросом вы предпочли бы подумать?

Ахилл: Наверное, мне пришлось бы бросить монетку. По-моему, между этими вопросами нет особой разницы.

Черепаха: Ага! Вот тут вы и ошибаетесь. Между ними огромная разница! Если вы выберете свойство Гольдбаха, где идет речь о СУММАХ, то вам придется иметь дело только с простыми числами между двумя и триллионом, не так ли?

Ахилл: Разумеется.

Черепаха: А раз так, то ваш поиск рано или поздно ОБЯЗАТЕЛЬНО КОНЧИТСЯ…

Ахилл: А-а-а… Понятно. С другой стороны, если я начну работать над представлением триллиона в форме РАЗНОСТИ двух простых чисел, я могу использовать сколь угодно большие числа. Они могут быть так велики, что мне придется просидеть за работой триллион лет.

Черепаха: Хуже того, они могут вообще НЕ СУЩЕСТВОВАТЬ! В конце концов, именно в этом и состоял вопрос: существуют ли такие простые числа? Нас не интересовало, как велики они могут оказаться.

Ахилл: Вы правы. Если бы они не существовали, мой поиск мог продолжаться вечно, и я не ответил бы ни да ни нет. И тем не менее, ответ был бы отрицательным.

Черепаха: Таким образом, если у вас есть какое-то число и вы хотите проверить, обладает ли оно свойством Гольдбаха или свойством Черепахи, разница будет заключаться в следующем: поиск свойства Гольдбаха ОБЯЗАТЕЛЬНО ЗАКОНЧИТСЯ, в то время как поиск свойства Черепахи ПОТЕНЦИАЛЬНО БЕСКОНЕЧЕН — у нас нет никаких гарантий. Он может запросто тянуться до бесконечности, не давая нам никаких ответов. И тем не менее, в некоторых случаях он может закончиться на первом же шаге.

Ахилл: Я вижу, что между свойством Гольдбаха и свойством Черепахи действительно существует огромная разница.

Черепаха: Вы правы; эти проблемы, столь схожие по виду, на самом деле имеют дело с весьма различными свойствами. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что все четные числа обладают свойством Гольдбаха; вариация Гольдбаха — что все четные числа обладают свойством Черепахи. Обе задачи еще не решены, и интересно то, что хотя они звучат очень похоже, в них идет речь об очень разных свойствах целых чисел.

Ахилл: Я понимаю, что вы имеете в виду. Для любого четного числа свойство Гольдбаха — вполне определенная вещь, так как мы знаем, что если поискать, всегда можно узнать, обладает ли данное число этим свойством. Свойство Черепахи, с другой стороны, гораздо менее определенно, так как одной грубой силой тут не возьмешь — сколько ни ищи, а ответа можешь так и не найти.

Черепаха: Все же мне кажется, должны существовать какие-нибудь способы получше; может быть с помощью одного из них мы смогли бы всегда доходить до конца, устанавливая, есть ли у данного числа свойство Черепахи.

Ахилл: Но и тогда поиск кончался бы только в случае положительного ответа.

Черепаха: Не обязательно. Должно существовать доказательство того, что если поиск продолжается дольше определенного времени, ответ должен быть отрицательным. Мне кажется, что можно найти и совершенно ИНОЙ способ поиска простых чисел, способ, не требующий грубой силы. Он гарантировал бы, что если такие числа существуют, мы их найдем. А если нет — сможем это доказать. Так или иначе, в любом случае поиск завершался бы даже в случае отрицательного ответа. Но я не уверена, что все это можно доказать. Поиск в бесконечных пространствах — дело непростое, знаете ли…

Ахилл: Значит, на данный момент вы не знаете ни одного способа конечного поиска для нахождения свойства Черепахи — но тем не менее, такой способ МОЖЕТ существовать.

Черепаха: Верно. Можно бы, конечно, начать поиск такого поиска — но я не гарантирую, что подобный «мета-поиск», в свою очередь, окажется конечным.

Ахилл: Удивительно то, что если у какого-нибудь четного числа — скажем, у триллиона — не оказалось бы свойства Черепахи, то этим оно было бы обязано бесконечному числу единиц информации. Забавно подумать, что все эта информация может быть собрана в пучок и названа, согласно вашему галантному предложению, «свойством Ахилла» одного триллиона. На самом деле, это свойство всей системы, а не одного числа.

Черепаха: Это интересное наблюдение, Ахилл, но я все-таки думаю, что правильнее относить этот факт именно к триллиону. Представьте себе для примера простенькое утверждение «29 — простое число». На самом деле это означает, что 2, умноженное на 2, не равно 29; 5, умноженное на 6, не равно 29, и так далее. Вы согласны?

Ахилл: Ну, предположим…

Черепаха: Тем не менее вы спокойно можете собрать все эти факты вместе, связать их в пучок и привязать к числу 29, сказав «29 — простое число», не так ли?

Ахилл: Да…

Черепаха: И при этом число фактов бесконечно, поскольку мы можем также сказать, что «4444, умноженное на 3333, не равно 29».

Ахилл: Строго говоря, вы правы. Однако мы оба знаем, что 29 не может равняться произведению двух чисел, каждое из которых больше него самого. А раз так, то, говоря «29 — простое число», мы учитываем только ограниченное количество из всех фактов, известных нам об умножении.

Черепаха: Вы можете смотреть на это и так, но учтите, что сам факт, что 29 не может быть произведении двух чисел, больших чем оно само, основан на структуре численной системы в целом. В этом смысле, этот факт сам включает в себя бесконечное множество фактов. Вам, Ахилл, никуда не деться от того, что, говоря «29 — простое число», вы на самом деле утверждаете бесконечное множество фактов.

Ахилл: Не знаю, не знаю — мне это кажется лишь одним фактом.

Черепаха: Это происходит потому, что эти бесконечные факты составляют часть вашего предыдущего знания; они косвенно влияют на то, как вы смотрите на вещи. Вы не замечаете бесконечности, так как она скрыта внутри образов, возникающих в вашем сознании.

Ахилл: Наверное, вы правы. И все-таки мне кажется весьма странным объединить свойства системы чисел как целого и именовать результат «простотой числа 29».