ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

В случае с формальными системами, неполнота возникает, когда мы определяем предполагаемый рецепт выражения теоретико-численной истины. Именно в этом заключалась проблема ТТЧ + G. Как только вы вводите все хорошо определенные G в ТТЧ, там тут же появляется некое новое G, непредусмотренное вашей схемой аксиом. В случае сражения Черепахи с Крабом в «Акростиконтрапунктусе», как только «архитектура» патефона была определена, он становился уязвимым для разбивальной музыки.

 Так что же делать? Конца этому не предвидится. Кажется, что ТТЧ, даже если расширять ее до бесконечности, всегда будет оставаться неполной. Поэтому говорят, что ТТЧ непополнима, поскольку неполнота является неотъемлемой характеристикой ТТЧ: это одно из ее основных свойств и избавиться от него невозможно. Более того, эта проблема будет преследовать любой вариант теории чисел, будь это расширенная версия ТТЧ, измененная версия ТТЧ, или альтернативная версия ТТЧ. Дело в том, что в любой данной системе возможность построить неразрешимую строчку путем Гёделева метода автореференции зависит от трех основных условий:

1) Чтобы система была достаточно мощной, так что все желаемые высказывания о числах, как истинные, так и ложные, могли бы быть в ней выражены. (Если это условие не выполняется, значит, система с самого начала слишком слаба, чтобы соперничать с ТТЧ, поскольку она даже не способна выразить теоретико-численные понятия, выразимые в ТТЧ. На метафорическом языке «Акростиконтрапунктуса» это было бы равносильно использованию вместо патефона, скажем, холодильника.

2) Чтобы все общерекурсивные отношения были выражены формулами системы. (Если это условие не выполняется, значит, система не выражает в своих теоремах некоторых общерекурсивных истин — жалкая неудача в попытке выразить все истины теории чисел! На метафорическом языке «Акростиконтрапунктуса» это было бы равносильно использованию патефона низкого качества.)

3) Чтобы аксиомы и типографские схемы, выводимые по правилам данной системы, можно было распознать при помощи конечной процедуры решения. (Если это условие не выполняется, значит, не существует метода, чтобы отличить правильные деривации от «незаконных» — таким образом выходит, что «формальная система» вовсе не формальна и даже не определена как следует. На метафорическом языке «Акростиконтрапунктуса» это было бы равносильно частично собранному патефону.

Если эти три условия удовлетворены, значит, любая непротиворечивая система будет неполной, поскольку в ней возможна Геделева конструкция.

Интересно то, что любая подобная система роет сама себе яму, мощность системы является причиной ее «падения» Падение происходит потому, что система достаточно мощна, чтобы выразить автореферентные суждения. В физике существует понятие «критической массы» радиоактивного вещества, такого, например, как уран. Если масса ниже критической, с ураном ничего не происходит. Если же критическая масса достигнута, то в уране начинается цепная реакция и он взрывается. Кажется, что у формальных систем есть аналогичный критический «порог». Ниже этого порога система «безвредна» и даже не пытается формально выразить арифметические истины, но, как только порог достигнут, система внезапно приобретает возможность выражать автореферентные суждения и, следовательно, обрекает себя на неполноту. Этот критический порог по-видимому достигается примерно тогда, когда в системе выполняются все три данных выше условия. Как только система становится способной к автореферентности, в ней появляется «дыра», словно вырезанная по заказу она учитывает особенности системы и использует их против самой этой системы.

Страсти по Лукасу

Удивительная повторяемость Геделева аргумента использовалась многими — в частности Дж. Р. Лукасом — как оружие для защиты идеи, что человеческий разум отличается неким специфическим качеством, которое невозможно имитировать при помощи «механических автоматов» — то бишь, компьютеров. Лукас начинает свою статью «Разум, машины и Гедель» (J. R. Lucas, «Minds, Machines, and Godel») следующими словами:

Мне кажется что теорема Геделя доказывает, что Механизм не может выражать истину, что означает что разум не может быть объяснен как механизм. [42]

42

Lucas в сборнике Anderson, стр. 43.

Затем он приступает к изложению своих аргументов, которые я здесь кратко перескажу. Он утверждает, что для того, чтобы мы могли считать интеллект компьютера равным интеллекту человека, компьютер должен быть способен проделать любое интеллектуальное задание, на которое способен человек. Однако, говорит Лукас, компьютер не способен проделать «Геделизацию» (один из его забавно фамильярных терминов) так, как на это способны люди. Почему? Подумайте о любой формальной системе, такой как ТТЧ, или ТТЧ + G, или даже ТТЧ + G. Легко составить компьютерную программу, выводящую теоремы этой системы таким образом, что рано или поздно любая заранее выбранная теорема оказывалась бы выведенной. Это значит, что компьютер не пропускал бы не одной области в «пространстве» всех теорем Подобная программа состояла бы из двух основных частей (1) подпрограмма, «штампующая» аксиомы на основе «схемы аксиом», если таковая имеется и (2) подпрограмма, использующая правила вывода для получения новых теорем на основании имеющихся теорем (и, разумеется, аксиом). Эти две подпрограммы использовались бы по очереди.

По сравнению с человеком, мы можем сказать, что программа «знает» некоторые факты о теории чисел — а именно, те факты, которые она печатает. Если она пропускает некий истинный факт теории чисел, это значит, что она его не «знает». Следовательно, можно доказать, что компьютерная программа «глупее» человека, показав, что люди знают что-то, недоступное машине. Здесь Лукас начинает свое доказательство. Он утверждает, что люди всегда могут проделать Гёделев трюк в любой формальной системе, равномощной ТТЧ — и, таким образом, они всегда знают больше, чем данная система. Это рассуждение может показаться приложимым лишь к формальным системам, но оно может быть немного изменено и в таком виде стать, как кажется, непобедимым аргументом против Искуственного Интеллекта, равного человеческому. Это делается так:

Рациональность и численность естественно рождают компьютеры, автоматы, роботов, следовательно…

Компьютеры изоморфны формальным системам. Значит…

Любой компьютер, чтобы быть таким же умным, как человек, должен быть способен понимать теорию чисел так же хорошо, как люди, значит…

Среди прочего, он должен знать примитивно рекурсивную арифметику. Но именно поэтому…

Он ловится на Гёделев «крючок», из чего следует, что…

Мы, с нашим человеческим интеллектом, можем вывести некое истинное утверждение теории чисел, истинность которого компьютер не в состоянии заметить (то есть, компьютер никогда не выведет этого утверждения) именно из-за Гёделева аргумента, действующего как бумеранг.

Из этого следует, что существует нечто, что невозможно запрограммировать на компьютерах, но что люди способны сделать. Значит, люди умнее.

Насладимся же, вместе с Лукасом, преходящим моментом антропоцентрической славы:

Какую бы сложную машину мы не сконструировали, она, будучи машиной, будет соответствовать формальной системе, которая, в свою очередь, будет подвержена Гёделевой процедуре нахождения формулы, недоказуемой в данной-системе. Эту формулу машина не в состоянии будет вывести в качестве истинной, хотя разум может установить ее истинность. Таким образом, машина все еще не будет адекватной моделью разума. Мы пытаемся создать механическую модель мозга — «мертвую» модель — но разум, будучи «живым», может всегда пойти на шаг дальше любой формализованной, окостеневшей, мертвой системы. Благодаря теореме Гёделя, за разумом всегда остается последнее слово. [43]

43

Там же, стр. 48.

На первый взгляд (и, может быть, даже после детального анализа), доводы Лукаса кажутся убедительными. Обычно они вызывают противоположные реакции. Некоторые ухватываются за них, почти как за религиозное доказательство существования души, в то время как другие просто отмахиваются от них, как от недостойной внимания чепухи. Мне кажется, что, хотя эти доводы ошибочны, они настолько интересны, что стоит потратить некоторое время на их опровержение. На самом деле, это было одной из основных причин, по которой я стал думать над проблемами, затронутыми в этой книге. Я попытаюсь опровергнуть доводы Лукаса одним способом в этой главе и другими способами в главе XVII.

Мы должны попробовать глубже понять, почему Лукас говорит, что компьютер невозможно запрограммировать так, чтобы он «знал» столько же, сколько люди. Его идея заключается в том, что мы всегда находимся вне системы, и что извне мы можем проделать «Геделизирующую» операцию, в результате дающую нечто, что мы, глядя извне, можем идентифицировать как истинное, но что не может быть интерпретировано как таковое изнутри системы. Но почему нельзя запрограммировать в качестве третьего главного компонента программы «Геделизирующий оператор», как Лукас его называет? Лукас объясняет: