ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
Шрифт:
Гёделева формула строится при помощи стандартной процедуры — только так мы можем быть уверены, что ее можно будет построить в любой формальной системе. Не если это стандартная процедура, то почему ее нельзя добавить к программе? Это соответствовало бы системе с дополнительным правилом вывода, позволяющего добавить к ней в качестве теоремы Геделеву формулу остальной системы, затем — Геделеву формулу получившейся при этом новой, более мощной формальной системы, и так далее. Это было бы равносильно добавлению к первоначальной формальной системе бесконечной цепочки аксиом, каждая из которых являлась бы Гёделевой формулой системы, полученной таким образом… Можно ожидать, что человек, столкнувшийся с машиной, обладающий Гёделевым оператором, принял бы этот факт во внимание и смог бы пере-Гёделить этот новый аппарат вместе с его Гёделевым оператором. В действительности, так и получается. Даже если мы добавим к формальной системе бесконечный ряд аксиом, состоящих из последовательных Гёделевых формул, получающаяся система все еще остается неполной, так как в ней будет недоказуемая в данной системе формула. Однако разумное существо, стоящее вне системы, видит, что эта формула истинна. Этого мы и ожидали, поскольку,
44
Там же, стр. 48-9.
Образ, который мы находим у Эшера, помогает нам лучше понять эту идею; речь идет о его «Драконе» (рис. 76). Основная тема в нем, разумеется, — это дракон, кусающий себя за хвост, со всеми Гёделианскими ассоциациями, которые это вызывает. Но в этой картине есть и более глубокий смысл. Сам Эшер написал по этому поводу очень интересные комментарии. Первый комментарий касается серии рисунков, в которых Эшер исследовал конфликт «между плоскостью и трехмерным пространством»; второй комментарий — собственно о «Драконе»:
I. Наше трехмерное пространство — это единственная известная нам реальность. Двумерность точно так же фантастична для нас, как и четырехмерность, поскольку в нашем мире ничто не плоско по-настоящему, даже поверхность тщательнейшим образом отполированного зеркала. И все же мы держимся за идею, что стена или лист бумаги на самом деле плоские, — и интересно то, что мы продолжаем, с незапамятных времен, производить иллюзии пространства на этих самых плоских поверхностях. Не абсурдно ли нарисовать несколько линий и назвать это «домом»? Эта странная ситуация — тема следующих пяти рисунков [включая «Дракона»]. [45]
45
М. С. Escher, «The Graphic Work of M. С Escher» (New York: Meredith Press, 1967), стр. 21.
II. Как бы этот дракон не пытался стать трехмерным, он остается совершенно плоским. На бумаге, на которой он нарисован, прорезаны два отверстия. Затем она сложена так, что получаются два квадратных «окошка». Но этот дракон упрям, и несмотря на свою плоскостность, он настаивает на том, что он трехмерен — поэтому он просовывает голову в одно из отверстий, и хвост — в другое. [46]
Этот второй комментарий очень важен. Эшер имеет в виду то, что как бы мы не исхитрялись, пытаясь выразить три измерения в двух, при этом всегда теряется некая «основная сущность трехмерности». Дракон изо всей силы пытается побороть свою двумерность. Он пробует сделать это, высовывая голову из бумаги, на которой, как ему кажется, он нарисован — но мы, находящиеся вне рисунка, видим, насколько тщетны его усилия, поскольку и дракон, и дырки, и складки — всего лишь двумерные изображения соответствующих понятий, и не одно из них не является реальным. Но дракон не может выйти из своего двумерного пространства и не может, подобно нам, этого увидеть.
46
Там же. стр. 22.
На самом деле, можно пойти еще дальше. Мы можем вырвать эту картинку из книги, сложить ее, прорезать в ней дырки, вывернуть ее наизнанку, и сфотографировать результат — и она снова станет двумерной. То же самое можно повторить и с фотографией. Каждый раз, когда изображение становится опять двумерным — как бы хитроумно мы не симулировали на нем трехмерность в двух измерениях — оно снова может быть разрезано и сложено.
Имея в виду эту замечательную Эшеровскую метафору, вернемся к программам и людям. Мы говорили о попытке ввести «Геделизирующий оператор» в саму программу. Но даже если бы мы написали программу, выполняющую эту операцию, она не уловила бы сути Гёделева метода. Мы снова можем, находясь вне системы, уничтожить ее методом, ей самой недоступным. Однако позвольте: являются ли наши доводы аргументами за или против идеи Лукаса?
Рис. 76. М. К. Эшер «Дракон» (гравюра на дереве, 1952)
Против Сам факт, что мы не можем написать программу, способную на «Гёделизирование», заставляет нас подозревать, что мы и сами не всегда на это способны. Одно дело — абстрактно аргументировать, что Гёделизирование возможно, и совсем другое дело — знать, как проделать эту операцию в каждом конкретном случае. На самом деле, по мере того, как сложность формальных систем (или программ) возрастает, наша способность «Геделизировать» начинает ослабевать. Это естественно, поскольку, как мы только что выяснили, у нас нет алгоритма, описывающего этот процесс. Если мы не можем объяснить, как применить метод Гёделя в каждом отдельном случае, то для каждого из нас рано или поздно наступит такой момент, когда, столкнувшись со слишком сложным случаем, мы не сможем сообразить, что делать.
Разумеется, этот предел способностей каждого из нас будет весьма приблизительным, так же, как предел веса, который мы способны оторвать от земли. Иногда мы не способны поднять 120 кг а на другой день это у нас получается. Но мы можем быть уверены что нам никогда не удастся поднять 120
тонн. В этом смысле хотя личный предел способностей каждого приблизителен существуют системы которые лежат далеко за пределами человеческой способности к Геделизированию.Это понятие проиллюстрировано в Диалоге «Праздничная Кантататата». Сначала кажется что Черепахе удастся сколько угодно водить Ахилла за нос. Но затем Ахилл пытается обобщить все ответы в одной схеме. Этот новый трюк получает имя . Очень важно то что это имя — новое Это первый пример ситуации, в которой приходится расширить старую схему имен, включавшую имена только для натуральных чисел. Далее вводятся несколько новых расширенных вариантов, чьи имена иногда естественны, а иногда довольно сложны. Но рано или поздно запас имен у нас опять кончится; это произойдет в тот момент, когда схемы ответов
, , , …
объединятся в одну невероятно сложную схему ответов. Придется нам дать этой схеме совершенно новое имя — «». Новое имя вводится каждый раз, когда совершается принципиально новый шаг, связанный с тем, что мы находим некую нерегулярность в системе. Таким образом, новое имя должно быть придумано ad hoc.
Вы можете подумать, что эти нерегулярности в переходе от одного порядкового числа (так называются эти имена, даваемые нами бесконечности) к другому могут быть разрешены с помощью компьютера; такая программа производила бы новые имена упорядоченно. Когда у нее «кончался бы бензин», она включала бы «центр нерегулярности», производящий новое имя и затем переключающий программу обратно на регулярный контроль. Но эта идея не работает. Дело в том, что сами нерегулярности возникают нерегулярно, и нам понадобилась бы программа высшего порядка — то есть программа, создающая новые программы, дающие новые имена. И даже этого оказывается недостаточно. В какой-то момент становится необходимой программа третьего порядка — и так далее, и тому подобное.
Вся это невероятная сложность берет начало в теореме, которой мы обязаны Алонзо Черчу и Стефену Клини. Эта теорема о структуре «бесконечных порядковых чисел» утверждает, что:
Не существует такой рекурсивно согласованной системы обозначений, которая давала бы имя каждому конструктивному порядковому числу.
Нам придется оставить обсуждение того, что такое «рекурсивно родственные системы нотации» и «конструктивные порядковые числа», более техническим трудам, таким, например, как книга Хартлея Роджерса (Hartley Rodgers, см. Библиографию). Здесь мы удовольствуемся интуитивной идеей. По мере того, как порядковые числа возрастают, в них появляются нерегулярности, и нерегулярности в этих нерегулярностях, и нерегулярности в нерегулярностях нерегулярностей и так далее. Не существует такой единой схемы, которая могла бы назвать все порядковые числа. Из этого следует, что не существует такого алгоритмического метода, который мог бы сказать нам, как приложить метод Гёделя к любой возможной формальной системе. Если не ударяться в мистику, то приходится согласиться с тем, что любое человеческое существо рано или поздно достигнет предела своей способности Геделизировать. С этого момента формальные системы такой сложности, хотя и неполные из-за возможности приложения к ним Гёделева метода, сравняются по мощи с человеческим разумом.
Это только один способ спорить с Лукасом. Существуют другие, возможно, более убедительные, аргументы против его идей, которые мы рассмотрим позже Но этот последний контраргумент очень важен поскольку он касается интереснейшей идеи создания компьютерной программы, способной выйти за пределы самой себя, увидеть себя полностью со стороны и применить трюк Геделя к самой себе. Разумеется, это так же невозможно, как невозможно для патефона воспроизвести собственную разбивальную мелодию. Однако мы не должны считать ТТЧ ущербной по этой причине Дефект, если он и есть, заключается не в самой системе, а в наших ожиданиях того, на что эта система окажется способна. Кроме того необходимо помнить, что и мы сами бессильны против словесного трюка который Гедель перевел в математическую форму—я имею в виду парадокс Эпименида. Это было весьма хитроумно подмечено Ч. Г. Уайтли, когда он предложил высказывание «Лукас не может непротиворечиво утверждать это высказывание» Подумав, вы поймете, что (1) это верно, и все же (2) Лукас не может этого утверждать непротиворечиво. Значит, Лукас также «неполон» по отношению к существующим в мире истинам. То, как мир отражен в его мозгу, не позволяет ему одновременно быть непротиворечивым и утверждать истинное высказывание. Но Лукас подвержен этому не более, чем любой из нас. Он, как и все мы, просто находится на уровне сложной формальной системы.
Забавный способ увидеть ошибку доводов Лукаса — это сравнить их со спором мужчин и женщин. В своих странствованиях Лукус Мыслитель однажды находит неизвестный предмет — женщину. Не будучи ранее знаком с подобным явлением, вначале он застывает в восхищении перед сходством объекта с ним самим, но затем, немного испуганный, он кричит всем мужчинам кругом: «Постойте! Я могу смотреть ей в лицо — а это нечто, на что она сама не способна. Значит, женщины никогда не могут быть подобны мне!» Так он доказывает превосходство мужчин над женщинами, к глубочайшему удовлетворению как собственной персоны, так и своих товарищей-мужчин. (Тот же довод доказывает и превосходство Лукуса над всеми остальными мужчинами — факт, о котором он тактично умалчивает) Женщина отвечает: «Да, вы можете смотреть мне в лицо, чего я сделать не могу — но я могу смотреть вам в лицо, на что вы не способны. Мы равны!» На что Лукус находит неожиданный ответ: «Мне очень жаль, но если вы считаете, что можете видеть мое лицо, вы ошибаетесь. То, что вы, женщины, делаете — совсем не то же самое, что делаем мы, мужчины. Как я уже сказал, это явление низшего разряда и не заслуживает называться тем же именем Это можно назвать „женовидением“. Тот факт что вы можете „женовидеть“ мое лицо совершенно не важен, поскольку ситуация несимметрична. Теперь вы видите разницу?» «Да, теперь я женовижу» — женоотвечает женщина и женоудаляется.