ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ: Если x и <x э y> — теоремы, то у — также теорема.

ПРАВИЛО КОНТРАПОЗИЦИИ: <x э y> и <~y э ~x> взаимозаменяемы.

ПРАВИЛО ДЕ МОРГАНА: <~x ~y> и ~<x V y> взаимозаменяемы.

ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ: <x V y> и <~x э y> взаимозаменяемы.

Под «взаимозаменяемостью» здесь понимается следующее: если одно из двух выражений встречается в виде теоремы или части теоремы, оно может быть заменено на второе, и результат также будет теоремой.

Объяснение правил

Прежде чем рассматривать эти правила в действии, я хочу их коротко пояснить. Вы, вероятно, можете придумать примеры получше; поэтому я ограничусь только несколькими.

Правило контрапозиции показывает то, каким образом мы перевертываем условные предложения (обычно мы делаем это бессознательно). Например, буддистское изречение о Тропе — дороге к Мудрости:

Если вы изучаете ее, то вы далеко от Тропы,

означает то же самое, что

Если вы близко к Тропе, то вы ее не изучаете.

Правило Де Моргана может быть проиллюстрировано на примере хорошо знакомого нам высказывания «Флаг не движется и ветер не движется». Если P означает «флаг движется» и Q — «ветер движется», то комбинированное высказывание будет <~P ~Q>, которое, согласно правилу Де Моргана, может быть заменено на ~<P V Q>: «Неверно, что флаг или ветер движутся». Никто не станет оспаривать, что это весьма осмысленное дзен-ключение…

Для иллюстрации правила замены возьмем высказывание «Либо туча зависла над горой, либо лунный луч проникает сквозь волны озера» — фраза, которую мог бы произнести дзен-буддистский мастер, пытаясь мысленно увидеть любимое озеро. Теперь держитесь крепче: правило замены утверждает, что это высказывание может быть заменено на мысль «Если туча не зависла над горой, то лунный луч проникает сквозь волны озера.» Это, может быть, и не Просветление, но это большее, что исчисление высказываний может нам предложить.

Игра с системой

Теперь давайте приложим эти правила к одной из предыдущих теорем и посмотрим, что у нас выйдет. Возьмем, к примеру, теорему <P э ~~P>:

<P э ~~P> старая теорема

<~~~P э ~P> контрапозиция

<~P э ~P> двойная тильда

<P V ~P> замена

Новая теорема в интерпретации утверждает, что:

Либо этот разум Будда, либо этот разум не Будда.

Интерпретированная теорема снова оказалось истинным (хотя, может быть, и не таким уж удивительным) высказыванием.

Частичная интерпретация

Читая вслух теоремы исчисления высказываний, кажется естественным интерпретировать все, кроме атомов. Я называю это частичной интерпретацией. Например, частичной интерпретацией<P V ~ P> было бы:

P или не P

Хотя P здесь и не высказывание, приведенное полувысказывание все же звучит как истинное, поскольку мы можем легко вообразить на месте P любое предложение — и форма этой частичной интерпретации уверяет нас, что, независимо от нашего выбора, результатом будет истинное высказывание. Именно это — центральная идея исчисления высказываний: оно производит теоремы, которые, будучи частично интерпретированными, производят «универсально истинные полувысказывания». Независимо от того, как мы дополним интерпретацию, у нас получатся истинные суждения.

Топор Ганто

Теперь мы можем проделать более сложное упражнение, основанное на дзен-буддистстком коане под названием «Топор Ганто». Вот его начало:

Однажды Токусан сказал своему ученику Ганто «В нашем монастыре есть два монаха, которые прожили здесь много лет. Иди и проверь их». Ганто взял топор и пошел в хижину, где монахи занимались медитацией. Он поднял топор со словами. «Если вы скажете хоть одно слово, я отрублю вам головы; и если вы не скажете ни слова, я все равно отрублю вам головы». [13]

13

Gyomay M. Kubose «Zen Koans» стр. 178

Если вы скажете хоть одно слово, я прерву этот коан; и если вы не скажете ни слова, я все равно прерву этот коан — поскольку хочу перевести его в нашу нотацию. Пусть «вы скажете слово» будет P, а «я отрублю вам головы» — Q. Тогда угроза Ганто записывается как <<P э Q><~P э Q>>. Что, если бы эта угроза являлась бы аксиомой? Ответом на этот вопрос служит следующая фантазия:

(1) [ проталкивание

(2) <<P э Q><~P э Q>> аксиома Ганто

(3) <P э Q> разделение

(4) <~Q э ~P> контрапозиция

(5) <~P э ~Q> разделение

(6) <~Q э ~~P> контрапозиция

(7) [ снова проталкивание

(8) ~Q посылка

(9) <~Q э ~P> перенос строки 4

(10) ~P отделение

(11) <~Q э ~~P> перенос строки 6

(12) ~~P отделение (строки 8 и 11)

(13) <~P ~~P> объединение

(14) ~<P V ~P> Де Морган

(15) ] выталкивание