ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

для всех чисел b существует число b, такое, что больше чем равняется умноженное на О, 1, 2,…

Большинство таких фраз получат индивидуальные символы. Исключением является «больше чем», которое может быть упрощено еще. Действительно, высказывание «а больше b» становится:

существует число с отличное от 0, такое, что а = b + с.

Символы чисел

Мы не будем вводить отдельного символа для каждого из натуральных чисел. Вместо этого у нас будет очень простой способ приписать каждому натуральному числу составной символ, так, как мы делали это в системе pr. Вот наше обозначение натуральных чисел.

нуль 0

один S0

два SS0

три SSS0

и т. д.

Символ S интерпретируется как «следующий за.» Таким образом, строчка SS0 интерпретируется буквально как «следующий за следующим за нулем.» Подобные строчки называются символами чисел.

Переменные и термины

Ясно, что нам нужен способ говорить о неопределенных, или переменных числах. Для этого мы будем использовать буквы а, b, с, d, e. Однако пяти букв будет недостаточно Так же, как для атомов в исчислении высказывании, нам требуется их неограниченное количество Мы используем похожий метод для получения большего количества переменных — добавление любого количества штрихов. Например:

e

d'

с"

b'''

a''''

все являются переменными.

В каком-то смысле, использовать целых пять букв алфавита — это слишком большая роскошь, так как мы могли бы легко обойтись просто буквой а и штрихами. Впоследствии я действительно опущу буквы b,c,d, и e — результатом будет более строгая версия ТТЧ, сложные формулы которой будет немного труднее расшифровать. Но пока давайте позволим себе некоторую роскошь! Как насчет сложения и умножения? Очень просто: мы будем использовать обычные символы «+» и «*». Однако мы также введем требование скобок (мы мало помалу углубляемся в правила, определяющие правильно построенные строчки ТТЧ). Например, чтобы записать «b плюс с» и «b, умноженное на с», мы будем использовать строчки:

(b + с)

(b*с)

В отношении скобок послабления быть не может; опустить их — значит произвести неправильно сформированную формулу. («Формула?» Я использую этот термин вместо слова «строчка» лишь для удобства. Формула — это просто строчка ТТЧ.)

Кстати, сложение и умножение всегда будут рассматриваться как бинарные операции, то есть операции, объединяющие не более, чем два числа. Таким образом, если вы хотите записать «1+2+3», вы должны решить, какое из двух выражений использовать:

(S0+(SS0+SSS0))

((S0+SS0)+SSS0)

Теперь давайте символизируем понятие равенства. Для этого мы просто используем «=». Преимущество этого символа, принадлежащего Ч — неформальной теории чисел — очевидно: его весьма легко прочесть. Неудобство же при его использовании напоминает проблему, возникавшую при использовании слов «точка» и «линия» в формальном описании геометрии: если ослабить внимание, то легко спутать обыденное значение этих слов с поведением символов, подчиняющихся строгим правилам. Обсуждая проблемы геометрии, я различал между обыденными словами и терминами — последние печатались заглавными буквами. Так, в эллиптической геометрии ТОЧКОЙ было объединение двух точек. Здесь такого различия не будет, поэтому читатель должен постараться не спутать символ с многочисленными ассоциациями, которые он вызывает. Как я сказал ранее о системе pr, строчка – -- не является числом 3; вместо этого она действует изоморфно с числом 3, по крайней мере, при сложении. То же самое можно сказать и о строчке SSS0.

Атомы и символы высказываний

Все символы исчисления высказываний, кроме букв, с помощью которых мы получали атомы (P, Q, R), будут использованы в ТТЧ; при этом они сохранят ту же интерпретацию. Роль атомов будут играть строчки, которые, будучи интерпретированы, дадут равенства, такие как S0=SS0 или (S0xS0) = S0. Теперь у нас есть достаточно данных, чтобы перевести несколько простых суждений в запись ТТЧ:

2+3 равняется 4: (SS0+SSS0)=SSSS0

2+2 не равняется 3: ~(SS0+SS0)=SSS0

Если 1 равняется 0, то 0 равняется 1: <S0=0э0=S0>

Первая из этих строчек — атом; остальные — составные формулы. (Внимание: «и» во фразе «1 и 1 будет 2» — всего лишь еще одно обозначение «плюса» и должно быть представлено «+» (и необходимыми скобками).

Свободные переменные и кванторы

Все правильно сформированные строчки, приведенные выше, обладают следующим свойством: их интерпретация — либо истинное, либо ложное высказывание. Однако существуют правильно сформированные формулы, не обладающие этим свойством, такие, например, как:

(b+S0)=SS0

Ее интерпретация — «b плюс 1 равняется 2». Поскольку b не определено, то невозможно сказать, истинно ли данное высказывание. Это напоминает высказывание с местоимением, взятое отдельно от контекста, такое, как «Она неуклюжа.» Это высказывание не истинно и не ложно — оно просто ждет, чтобы его поставили в контекст. Поскольку она не истинна и не ложна, подобная формула зовется открытой, а переменная b называется свободной переменной.

Одним из способов превратить открытую формулу в замкнутую формулу или высказывание является добавление квантора — фразы «существует число b такое, что…» или фразы «для всех b». В первом случае, у вас получается высказывание:

Существует число b такое, что b плюс 1 равняется 2.

Ясно, что это истинно. Во втором случае, вы получите:

Для всех чисел b, b плюс 1 равняется 2.

Ясно, что это ложно. Теперь мы введем символы для обоих кванторов. Два высказывания, приведенные выше, в ТТЧ будут выглядеть как:

Eb:(b+S0)=SS0 ( E означает «существует»)

Ab:(b+S0)=SS0 ( A означает «все»)

Важно отметить, что речь идет уже не о неопределенных числах; первое высказывание — это утверждение существования, второе — утверждение общности. Их значение не изменится, даже если мы заменим b на c:

Ec:(c+S0)=SS0

Ac:(c+S0)=SS0

Переменная, управляемая квантором, называется квантифицированной переменной. Две следующие формулы иллюстрируют разницу между свободной и квантифицированной переменной.

(b*b)=SS0 (открытая)

~Eb:(b*b)=SS0 (замкнутая - высказывание ТТЧ)

Первая формула выражает свойство, которое может быть присуще какому-либо натуральному числу. Разумеется, такого числа не существует. Этот факт выражен второй формулой. Очень важно понять разницу между строчкой со свободной переменной и строчкой, в которой переменная квантифицирована. Последняя строчка — либо истинна, либо ложна. В переводе на русский язык, строчка, где есть по крайней мере одна свободная переменная, называется предикатом. Предикат — это высказывание без подлежащего (или с подлежащим, выраженным местоимением, лишенным контекста). Например, высказывания: