Рисунок 2.4. Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации (преобразовании) не изменил направление, поэтому является собственным вектором этого преобразования, соответствующим некоторому собственному значению.
Геометрически это выглядит так, что вектора коллинеарные вектору
при преобразовании
лишь
сжимаются до 0.98 от своей первоначальной длины. Для большей наглядности, изобразим на рисунке 2.4 некоторое преобразование векторного пространства.
Поскольку есть свобода выбора
по своему усмотрению, будем считать его равным 1. Таким образом, нашли собственный вектор
, который использовался на протяжении всей этой главы.
Собственный вектор, связанный с
, найдём аналогично:
, следовательно, нужно решить систему
Поскольку уравнения кратны друг другу, решим одно
, получим
, поэтому
. Выбирая
, чтобы компоненты вектора оказались целочисленными, находим
.
Хотя это был лишь один пример вычисления собственного вектора конкретной матрицы
, для любой
– матрицы процедура работает одинаково. Хотя не будем доказывать это здесь, подробности раскрываются в классической теореме Кронекера-Капелли, в данном случае всегда одно из уравнений окажется кратным другому, поэтому можно решить его, выражая
через
(или
через
), чтобы найти все собственные векторы.
Как и в случае с собственными значениями, вычисление собственных векторов для матриц размерности 3 x 3 или более выполняется аналогичным образом как для 2 x 2 случаев, хотя возникают некоторые дополнительные трудности. Оставим обсуждение деталей для курса линейной алгебры и вместо этого научимся использовать MATLAB для таких вычислений.
Существуют различные
компьютерные методы расчета. На самом деле, MATLAB и другие компьютерные пакеты на самом деле не вычисляют собственные векторы и собственные значения так, как описано выше. Поскольку вычисление собственных векторов и значений очень важно не только для учебных моделей, но и для множества открытых проблем в науке и технике, были давно разработаны и включены во многие стандартные пакеты программного обеспечения довольно продвинутые сложные методы.
Хотя на самом деле не будем погружаться в детали каких-либо методов, используемых этими пакетами, поверхностно опишем один из подходом, обсудив ниже «степенной метод».
Зададим матрицу перехода
, выберем любой начальный вектор
и вычислим
. Согласно сильной эргодической теореме, если
является доминирующим собственным значением
с соответствующим собственным вектором
, то должны ожидать, что
будет ближе к
, чем было
. Но поскольку еще не знаем значения
, нужно каким-то образом скорректировать
, чтобы учесть фактор изменения его длины. Один из способов сделать это – просто разделить каждую компоненту вектора
на самую большую из его компонент, чтобы получить новый вектор, который назовём
. Это означает, что
будет иметь хотя бы одну компоненту равную 1 и будет «ближе» чем
к тому вектору, который в пределе окажется собственным. Так на рисунке 2.4 красный «приблизился» к синему в результате трансформации векторов пространства.
Затем можно повторить процесс, используя
вместо
, чтобы получить еще лучшее приближение собственного вектора. Конечно, затем предстоит повторять процесс снова и снова, пока не обнаружим, что приближения в собственному вектору меняются незначительно.