Наука логики

Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма, Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики, равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени, только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать, единственный интерес.

Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать, ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при таком способе действия во всей своей силе.

Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath. phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять первое,

то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения; следовательно, это и есть дифференциал ху.
– Как видим, при этом способе сам собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно.

Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление

флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.

Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала, связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их степеней.
– Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом основании, что они малы;

Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов [ряда] ввиду их относительной малости.
– А именно известно, что в механике членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого. Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой

суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий качественное определение, которое здесь важнее всего.

В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом, остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд, исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и которое,

стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.

Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких, в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления.

Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму всех следующих за ним членов.
– При этом методе также начинают с категории приращения и разности функций, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание, почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем примечании.

Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и содержится указанная выше истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое, встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т. д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции, еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное оперирование им.

Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция другой;

приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2 и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что А как определенное