Объективное знание. Эволюционный подход

Теорема.Истинностное содержание любого истинного высказывания A есть аксиоматизируемая система A _T= А;истинностное содержание любого ложного высказывания a есть дедуктивная система A _TА,где A _Tнеаксиоматизируема, если только рассматриваемый язык-объект достаточно богат.

Это определение и эту теорему можно обобщить. Исчисление дедуктивных систем Тарского можно рассматривать как обобщение исчисления высказываний, поскольку каждому высказыванию (или классу логически эквивалентных высказываний) aсоответствует (финитно) аксиоматизируемаясистема A ,такая что

А=Cn(А)=Cn({а})

и наоборот: каждой аксиоматизируемой дедуктивной системе A соответствует некоторое высказывание (или класс логически эквивалентных высказываний) a.Поскольку же существуют также неаксиоматизируемые дедуктивные системы или классы следствий, такие что не существует высказываний или конечных классов высказываний, классом следствий которых они бы являлись, переход от высказываний к классам следствий или дедуктивным системам или от исчисления высказываний к исчислению систем можно назвать обобщением.

Таким образом, мы имеем — в более общем виде — для каждого класса следствий или дедуктивной системы Aсистему A _T— истинностное содержание A.Она совпадает с A, если и только если Aсостоит только из истинных высказываний, и в любом случае она есть подсистема A:очевидно, A _Tесть произведение, или пересечение, множеств Аи T.

Можно задать вопрос: соответствует ли истинностному содержанию А _Твысказывания aили дедуктивной системы Aтакже нечто, что можно было бы назвать ложностным содержанием А _Fвысказывания аили дедуктивной системы A?Кажется естественным определить ложностное содержание дедуктивной системы Aкак класс всех ложных высказываний, принадлежащих A, но это будет не вполне удовлетворительно, если мы хотим использовать (как я предлагаю) термин «содержание»как третий синоним к терминам «дедуктивная система» и «класс следствий». Ведь этот класс, состоящий, по предположению, только из ложных высказываний, не является дедуктивной системой: всякая дедуктивная система Aсодержит истинные высказывания — собственно говоря, бесконечное число истинных высказываний, — так что класс, состоящий исключительно из ложных высказываний, принадлежащих A,не может быть содержанием.

Чтобы ввести понятие ложностного содержания А _Fвысказывания aили класса следствий A,можно обратиться к понятию относительного содержания Aпри данном B, которое можно ввести как обобщение дедуктивной системы в смысле Тарского, или (абсолютного) содержания A=Cn(A).Я попытаюсь разъяснить это понятие, и ввиду возможной интуитивной критики я введу также понятие меры содержания.В конце этой главы я введу с помощью понятия мер истинностного содержания и ложностного содержания понятие степени приближения к истине, или правдоподобности (verisimilitude).

VI

Тарский говорит о больших или меньших дедуктивных системах или классах следствий. Действительно, множество дедуктивных систем (для некоторого языка) частично упорядочено отношением включения, совпадающим с отношением выводимости. Следующее замечание, высказанное Тарским в его работе об исчислении систем, можно использовать как ключ к релятивизации классов следствий, или содержаний, или дедуктивных систем: «среди дедуктивных систем существует наименьшая, то есть являющаяся подсистемой всех других дедуктивных систем. Это система Cn (0)— множество следствий пустого множества. Эта система, которая здесь для краткости будет обозначаться L, может интерпретироваться как множество всех логически верных (valid) предложений (или, в более общем виде, как множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить дедуктивную теорию, являющуюся предметом... нашего исследования)» [310] .

310

Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, Clarendon Press, p, 343.

Это наводит на мысль, что мы можем использовать вместо нулевой системы Lкакую-то другую систему «в качестве множества всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала,когда принимаемся строить, и т.д.». Обозначим, как и ранее, дедуктивную систему, содержанием которой мы интересуемся, переменной "A", а «множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала», переменной "B". Тогда мы можем написать выражение

Cn(А,В)

как релятивизацию (relativization) Cn (А)Тарского, которое является особым случаем при В= L = Cn(0):

Cn(А)=Cn(A,L).

Мы можем писать сокращенно "A,B" вместо "Cn(A,B)", точно так же, как Тарский пишет "A" вместо "Cn(A)".Процитированный отрывок из Тарского подсказывает следующее определение:

Определение: А,В=Cn(А,В)= Cn (A+B) - Cn (B).

А отсюда очевидным образом следует

Теорема:

A=Cn(A)=A,L=Cn(А,L)=Cn(A+L)-Cn(L).

Ограничиваясь относительным способом записи, мы получаем для истинностного содержания

А _Т=AT,L=Cn((А.Т)+L)– Cn(L),

а для ложностного содержания

A _F = A, A _T= Cn(A+ A _T) - Cn(A _T) = Cn(A) - Сп(А _T),

что превращает ложностное содержание в относительное содержание, объем (extension) которого совпадает (как первоначально и предлагалось) с классом всех ложных высказываний в А.

VII

Против предложенного определения ложностного содержания Аркак относительного содержания А ₎Атможно выдвинуть следующее возражение. Это определение интуитивно опирается на цитату из Тарского, в которой Тарский принимает Lза наименьшую или нулевую дедуктивную систему. Вместе с тем в нашей последней теореме

А=A,L=Cn(А+L)-Cn(L)

мы воспринимали слово «нулевая» слишком буквально: теперь мы видим, что Lследует понимать как множество меры нуль,а не как множество, которое, с учетом нашего выражения "-Cn(L)", в буквальном смысле пусто или которого больше нет, согласно нашему определению, поскольку оно было вычтено (так что в A остались только нелогические высказывания, чего мы не имели в виду).

Относимся мы к этому возражению серьезно или нет, оно в любом случае исчезает, если мы решим оперировать с мерой содержания ct(A)или ct(A,B),а не с самим содержанием, или классом следствий Cn(А)или Cn(А,В).