Объективное знание. Эволюционный подход

В 1934 году Тарский привлек внимание пражской конференции к аксиоматизации исчисления относительной вероятности дедуктивной системы Апри данной дедуктивной системе В, предложенной Стефаном Мазуркевичем [311] и опирающейся на исчисление систем Тарского. Такую аксиоматизацию можно рассматривать как введение функции меры для дедуктивных систем или содержаний А, В, С,... , даже хотя данная конкретная функция — функция вероятности

р(А,В)

311

Тарский ссылается на работу: Mazurkiewicz S.Die Grundlagen der Wahrscheiningskeits-rechnung I. Monatshefte tur Mathematik & Physik, Band 41, 1934, SS. 343-352. Из сноски 2 на S. 344 этой работы видно, что исчисление систем Тарского было известно польским математикам еше в 1930 году. Система Мазуркевича имеет определенный финитистский характер в отличие от моей собственной системы (см. Popper К. R.The Logic of Scientific Discovery, pp. 326-358), которую можно интерпретировать различными способами, например как исчисление вероятностей дедуктивных систем.

Я могу, пожалуй, упомянуть, что в настоящей работе я использую в качестве символов для функций меры, таких как вероятность, содержание и правдоподобность, строчные курсивные буквы, например, р(А), ct(A), vs(A).(Добавлено в 1978 г.) Везде, где это необходимо, я принимаю «тонкую структуру» вероятности. См. Popper К. R. Logic of Scientific Discovery, New Appendix *VIL

и возрастает с уменьшением относительного содержания. Это наводит на мысль ввести меру содержания с помощью определения, такого как

Определение: ct(A, В) = 1 - p(А, В).

Эта функция возрастает и убывает с возрастанием и убыванием относительного содержания. (Возможны, конечно, и другие определения, но это кажется самым простым и очевидным). Мы сразу же получаем:

ct(L) = 0

ct(A _T) = 1 - p(А.T, L) = 1 - р(А.Т)

ct(A _F) = 1- p(A,A _T),

что соответствует ранее полученным результатам.

Это наводит на мысль, что мы можем ввести понятие правдоподобности, или verisimilitude, высказывания а таким образом, чтобы оно возрастало вместе с возрастанием истинностного содержания этого высказывания и убывало с ростом его ложностного содержания. Это можно сделать несколькими способами [312] .

Самый очевидный способ — принять ct(A _t) - ct(A _F) за меру правдоподобности A. Однако по причинам, которые я здесь не буду обсуждать, мне кажется несколько более предпочтительным определить правдоподобность vs(A) как разность, умноженную на некий нормализующий множитель, предпочтительно следующий:

312

См. Popper К. R.Conjectures and Refutations, Addendum 3, pp. 391-397.

Таким путем мы получаем следующее

Определение:

что, конечно, можно переписать в р-нотации как:

А это приводит к

– 1 vs(A) +1

и, в частности, к

vs(L) = 0.

Иначе говоря, правдоподобность измеряет не ту степень приближения к истине, которой можно достичь, не делая никаких содержательных высказываний (она измеряется нехваткой содержания или вероятностью), а приближение ко «всей истине» — через все большее и большее истинностное содержание. Я полагаю, что правдоподобность в этом смысле является более адекватной целью науки — особенно естественных наук, чем истина, по двум причинам. Во-первых, потому, что мы не думаем, что Lсоставляет цель науки, даже хотя L=L _T.Во-вторых, потому, что мы можем предпочесть теории, которые считаем ложными, другим, даже истинным — таким как L,— если сочтем, что их истинности содержание существенно превышает их ложностное содержание.

В этих заключительных разделах главы 9 я лишь кратко очертил программу сочетания теории истины Тарского с его исчислением систем с целью получить понятие правдоподобности,позволяющее нам говорить — без опасения говорить бессмыслицу — о теориях, являющие лучшими или худшими приближениями к истине.Я, конечно, не предполагаю, что может существовать критерий применимости этого понятия не более, чем может существовать такой критерий для понятия истины. Вместе с тем некоторым из нас (например, Эйнштейну) иногда хочет говорить такие вещи, как например что у нас есть основания предполагать, что эйнштейновская теория тяготения не истинна,но являет лучшим приближением к истине,чем ньютоновская. Иметь возможное со спокойной совестью говорить подобные вещи кажется мне важным пожеланием к методологии естественных наук.

Добавление Замечание к определению истины по Тарскому {56}

В своей знаменитой работе о понятии истины [313] Тарский описывает способ определения понятия истины или, точнее, понятия «x есть истинное высказывание (языка L)».Первоначально этот способ применялся к исчислению классов, но он может применяться в самом общем виде к самым разным (формализованным) языкам, включая языки, позволяющие формализовать некоторые эмпирические теории. Для этого способа характерно то, что определение «истинного высказывания» основывается на определении отношения удовлетворения (relation of satisfaction),или точнее — выражения «бесконечная последовательность fудовлетворяет пропозициональной функции Х » [314] .Это отношение удовлетворения интересно само по себе,вне зависимости от того, что оно играет решающую роль в определении истины (и что шаг от определения удовлетворения к определению истины практически не представляет трудности). Предлагаемые мною замечания связаны с проблемой применения при определении удовлетворения конечных, а не бесконечных последовательностей.Это, по-моему, желательно с точки зрения применения данной теории к эмпирическим наукам, а также и с дидактической точки зрения.

313

См. Tarski А.Der WahrheitsbegrifT in den formalisierten Sprachen // Studia Philosophica, Bd. I, 1935, S. 261 [англ. пер.: Tarski A.The Concept of Truth in Formalized Languages// TarskiA.Logic, Semantic, Metamathematics, 1956, paper VIII, pp. 152-278]. Как я понимаю, Тарский предпочитает переводить «Aussage» и «Aussagefunktion» как «sentence» («предложение») и «sentence-function» («сентенциальная функция») — термины, используемые в переводе логических работ Тарского на английский, выполненным профессором Вуджером, — тогда как я пользуюсь здесь терминами «высказывание (statement)» и «пропозициональная функция (statement function)». Перевод Вуджера должен быть вскоре опубликован издательством Clarendon Press в Оксфорде. [Эта книга вышла в 1956 году. Есть и еще несколько различий между моим переводом и переводом Вуджера].

314

См. Tarski Л.Ibidem, S. 311 [p. 193], S. 313 [p. 195]. Заметим, что класс пропозициональных функций (или сентенциальных функций) включает класс высказываний, то есть замкнутыхпропозициональных функций.

Сам Тарский кратко обсуждает два способа [315] связанные с применением конечных последовательностей переменной длины вместо бесконечных последовательностей, но он указывает и на некоторые недостатки этих альтернативных способов. Первый из них ведет к «значительным [или „довольно серьезным"] осложнениям» (ziemlich bedeutenden Komplikationen)при определении удовлетворения (Определение 22), в то время как недостаток второго состоит в «некоторой искусственности» (eine gewisse Kunstlichkeit),поскольку он приводит к определению истины (Определение 23 [р. 195 англ. перевода]) с помощью понятия «пустой последовательности», или «последовательности нулевой длины» [316] . В своих замечаниях я хочу обратить внимание на то, что сравнительно небольшое изменение процедуры Тарского позволяет нам оперировать с конечными последовательностями, не сталкиваясь с осложнениями или искусственностями (например, пустыми последовательностями), которые имел в виду Тарский. Этот способ позволяет нам сохранить весьма естественную процедуру, предусмотренную условием (6)Определения 22 Тарского (р. 193 англ. перевода), и таким образом избежать обходного пути, связанного с введением отношений — или свойств, — имеющих порядок, равный числу свободныхпеременных рассматриваемой пропозициональной функции. Предлагаемое мною изменение способа Тарского достаточно незначительно, но ввиду того, что Тарский ссылается на другие его варианты, имеющие значительные недостатки, а не на данный вариант, может быть, стоит описать и это небольшое улучшение [317] .

315

Первый из этих альтернативных способов очерчен Тарским в примечании 40 на S. 309 и далее [р. 191 англ. перевода, прим. 1]. (Там не говорится явно, что этот способ можно использовать для избежания бесконечных последовательностей, но ясно, что его можно для этого использовать). Второй метод описывается в примечании 43 на S. 313 и далее [р. 195 англ. перевода, прим. 1]. Способ, предложенный Тарским в этом примечании, технически слегка отличный от примененного Тарским в основном тексте, используется Карнапом в его «Введении в семантику» (Сатар R.Introduction to Semantics, 1942, pp.47 и далее [точнее pp. 45-48]). Хотя Карнап ссылается на Тарского, он упускает из вида то, что Тарский предвидел этот конкретный способ. (В прим. 7 на S.368 [р. 245 англ. перевода, прим. 2] Тарский указывает еще и третий способ — очень простой, но безусловно в высшей степени искусственный в понимании Тарского; более того, этот способ относится только к определению истины как таковому, а не к определению выполнения [удовлетворения], которое интересно само по себе).

316

Карнап также использует это искусственное понятие.

317

Основное различие между моим способом и способами, предлагаемыми Тарским (упомянутыми ранее в прим. 3) состоит в следующем. Тарский предлагает ставить в соответствие данной функции (либо бесконечные последовательности, либо) конечные последовательности определенной (зависящей от данной функции) длины, в то время как я использую конечные последовательности «достаточной длины» (Определение 22а), то есть не слишком короткие для рассматриваемой функции. Соответственно, мои конечные последовательности могут быть любой длины(свыше определенного минимума, зависящего от рассматриваемой функции). Но допущение конечных функций любой длины (если этого достаточно для наших целей) не приводит ни к какой неоднозначности, поскольку мы легко получаем теорему(ср. Лемму А.Тарского на S. 317 [р. 198 англ. перевода]), согласно которой, если fудовлетворяет x, то всякое g,являющееся расширением f, также удовлетворяет x (где g есть расширение f, если и только если для каждого f _iсуществует g _iтакое, что g _i = f _i).Таким образом, эта теорема говорит, что нам достаточно рассматривать только самые короткиеконечные последовательности из тех, которые адекватны рассматриваемой функции (конечно, всей рассматриваемой сложной функции, в отличие от ее компонентов).

Для этой цели полезно будет неформально упомянуть, во-первых понятие номера места n(place number n )(или n-го места) в конечной последовательности объектов, а во-вторых, понятия длиныконечной последовательности f, то есть число мест в f(символически Np(f))равное самому большому номеру места в ней, и сравнения конечны последовательностей по их длине. Упомянем, в-третьих, что объект может занимать в последовательности определенное место — скажем, n-е, -и тогда его можно назвать [n-м индивидом или] n-м объектом, или n – мчленом рассматриваемой последовательности. Следует отметить, что один и тот же объект может занимать разные места в одной последовательности так же как и в разных последовательностях [318] .

318

Объекты (things) [так я называю их здесь; я мог бы называть их, как Тарский «индивидами», если бы не то, быть может, слегка запутывающее обстоятельство, что «индивиды» Тарского представляют собой индивидуальные классыисчисления классов] рассматриваемые Тарским в этом разделе его работы, суть классы;учитывая сказанное Тарским в параграфах 4 и 5, я буду говорить здесь о «последовательностях объектов» а не о последовательностях классов, имея в виду, что для любых объектов f _iи f _k, определено отношение вхождения f _i f _k.

Как и Тарский, я использую символы " f ₁", " f ₂", ... , " f _i", " f _k"» ... " f _n" в качестве имен объектов, занимающих первое, второе, i-е, k-e, ... n-е места в последовательности f. Я пользуюсь обозначениями Тарского за тем исключением, что [по типографским соображениям] использув "P _ky"для обозначения обобщения [или квантификации по общности выражения y по переменной v _k [319] .Принимается, что к Определению (11) [320] Тарского добавлено Определение выражения «v _kвходит в пропозициональную функцию x» — это предположение ни в коей мере не выводит нас за пределы методов Тарского и фактически в неявном виде присутствует в процедурах самого Тарского.

319

Ср. Определение 6 Тарского на S. 292 [р. 176 англ. перевода].

320

Tarski A. Ibidem, S. 294 [р. 178 англ. перевода]. Тарский явным образом определяет только выражение «переменная входит свободнов пропозициональную функцию x» [или V f есть свободнаяпеременная поопозипиональной функции

Теперь мы можем заменить Определение 22 Тарского [р. 193]. Мы заменим его двумя определениями — предварительным Определением 22a и Определением 22b, которое соответствует собственному определению Тарского.

Определение 22а. Конечная последовательность объектов f адекватнапропозициональной функции x(или достаточно длинна относительно x),если и только если

для каждого натурального числа n,

если v _nвходит в x, то число мест в fпо крайней мере равно n (то есть Np(f) n).

Определение 22b [321] .

Последовательность f удовлетворяетпропозициональной функции x ,если и только если

f— конечная последовательность объектов,

x —пропозициональная функция, и

(1) fадекватна x,

(2) x соблюдает одно из следующих четырех условий:

Существуют натуральные числа i и k такие, что x = l _i,kи f _i f _k.

Существует пропозициональная функция y такая, что x = y, и fне удовлетворяет y .

Существуют две пропозициональные функции у и zтакие, что x = y + zи fудовлетворяет либо y,либо z, либо обеим.

Существует натуральное число k и пропозициональная функция y такая, что

(a) x =P _ky ,

(b)любая конечная последовательность g ,длина которой равна f, удовлетворяет y ,если только g соблюдает следующее условие: для любого натурального числа n, если n —номер места в fи n /=k,то g _n= f _n.

321

Это в точности напоминает Определение 22 Тарского [р. 193], за исключением того, что к условию Тарского добавлен пункт (1) (чтобы заменить бесконечные последовательности конечными), и что наш пункт (6)содержит небольшое изменение, поскольку в нем говорится о длине f(и д).[Перевод "erfullen"как «удовлетворять» имеет тот недостаток, что в определении выражения « f удовлетворяет x» используется интуитивное представление о том, что «xсоблюдает (то есть удовлетворяет) такие-то условия».Но эти два «удовлетворяет» технически совершенно различны, хотя интуитивно и очень близки. В немецком тексте на S. 311 не проводится никакого терминологического различия, но на S. 312 в сноске, соответствующей сноске 1 на р. 193 английского издания, имеет место различие между «erfьllt»и «befriedigt».В Определении 22, конечно, нет никакого круга].