Волшебный двурог

— 373 —

кажется, все ясно. Значит, одно из конических сечений имеет самое тесное отношение к прогрессиям. Как все это связано!

— Вот эта связь различных разделов математики друг с другом и есть величайшая драгоценность нашей науки [27] .

— Как интересно! — воскликнул Илюша. — А скажи, пожалуйста, когда были открыты логарифмы?

— В начале семнадцатого века Джоном Непером, шотландцем.

— А-а! — сказал Илюша. — Вот в чем дело-то! Вот при чем тут шотландский сыр!

27

Наш симпатичный читатель поступит дельно, если раздобудет себе небольшую книжечку «Задачи по элементарной математике», составленную группой преподавателей под руководством чл.-корр. АН СССР И. М. Гельфанда (М., «Наука», 1965). Вся эта серия брошюр («Библиотечка физико-математической школы») очень полезна для юного математика.

— Конечно! Про этого Непера говорили, что он увеличил вдвое продолжительность жизни астронома, потому что с логарифмами можно насчитать вдвое больше, чем без них. Разумеется, нетрудно догадаться, что все, что мы проделали с неделимыми, можно отлично перевести и на современный язык теории пределов, стоит только вместо суммы «неделимых полосок» рассматривать предел суммы бесконечно утончающихся вписанных или описанных прямоугольничков, как мы делали уже в Схолии Пятнадцатой.

— А теперь расскажи еще про гиперболу. Греки определили параболу как геометрическое место. А гиперболу нельзя так определить?

— Можно. И гиперболу и эллипс. В эллипсе есть две весьма замечательные точки. Чтобы показать их тебе, я впишу в конус два соприкасающихся шара: один поближе к вершине конуса, другой подальше. Второй шар будет побольше, первый поменьше. Теперь я просуну между ними секущую плоскость (которая, разумеется, не имеет толщины). Оба шара будут ее касаться в одной точке, если плоскость будет лежать параллельно основанию конуса. И эта точка касания будет центром той окружности, которая будет сечением конуса этой самой плоскостью. Теперь я начну секущую плоскость наклонять.

Точки А и В лежат на кругах, но которым вписанные шары соприкасаются с конусом. Ясно, что ВА есть величина постоянная? А ну-ка, докажи это равенство!

F₁P + F₂P = BP + РА = ВА

Кто сам докажет, того переводим без экзаменов в следующую схолию. F₁ и F₂ — фокусы.

Так как шары ее крепко держат, то мы попросим первый шар, который поменьше, потесниться и сделаться немного меньше.^{14} Когда таким образом нам удастся повернуть секущую плоскость под некоторым углом к основанию конуса, то сечение конуса станет уже не кругом, а эллипсом, а два шара будут касаться секущей плоскости (а тем самым и плоскости эллипса) в двух точках, а не в одной. Эти две точки называются

— 374 —

фокусами эллипса. Так вот, эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. По нашей фигуре эта постоянная равна длине общей касательной к двум шарам. Кстати сказать, не так трудно представить себе, что прямые, соединяющие фокусы с любой точкой эллипса (его радиусы-векторы), каждый раз образуют между собой некоторый угол. Так вот биссектриса этого угла как раз будет нормалью эллипса к данной точке, а следовательно, найти и касательную к эллипсу не очень сложно. В таком случае гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. Вот попробуй нарисуй чертеж с конусом и двумя шарами, при помощи которого это было бы легко доказать. Из этого нового определения эллипса получается простой способ черчения эллипса. В двух точках — фокусах — ты накалываешь на бумагу две кнопки. Потом берешь нитку и связываешь ее колечком так, чтобы вся длина этого кольца была pавна расстоянию между фокусами плюс та самая постоянная сумма расстояний от точек эллипса до двух фокусов. Надеваешь эту связанную

Вот как чертится эллипс.

Кто скажет, в каком отношении друг к другу находятся отрезки F₁E и F₂E — с одной стороны, и большая ось эллипса AB — с другой? Карандаш уверяет, что стоит ему дойти до точки…

— 375 —

нитку на кнопки, а потом поддеваешь ее кончиком карандаша, натягиваешь и чертишь. Карандаш тебе как раз вычертит эллипс. Чем ближе поставить при одной и той же нитке фокусы-кнопки, тем больше эллипс будет походить на круг.

Чем дальше их расставить, тем более продолговатым будет эллипс. Если поставить кнопки совсем рядом, а нитку взять подлинней, то эллипс трудно будет отличить от круга, то есть когда фокусы сходятся в одной точке, эллипс превращается в круг. А если ты так далеко расставишь кнопки, что нитка совсем натянется, эллипс превратится в отрезок прямой.

— Так, — отвечал Илюша. — Обязательно попробую. Эллипс ведь очень красивая фигура! Ну, а если взять не сумму расстояний до двух точек и не разность, а, например, произведение?

— Тогда получится овал или восьмерка. Эта фигура называется лемнискатой. Ее построил математик Яков Бернулли. Уравнение этой кривой будет не второго порядка, как все конические сечения, а четвертого.

— Ишь какая важная!

— Это еще невелика важность, — ответил, усмехнувшись, Радикс.

— А начертить параболу и гиперболу труднее, чем эллипс?

Вот как надо чертить гиперболу.

— Нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Гиперболу, можно начертить так. Возьмем линейку и закрепим ее в одном из фокусов одним концом так, чтобы она могла вращаться вокруг фокуса, как на шарнире. Гипербола определяется, как мы говорили, постоянной разностью между расстояниями от каждой ее точки до двух фокусов. Назовем эту разность 2а и расстояние между фокусами 2с, причем с всегда больше а. У эллипса, кстати сказать, будет как раз наоборот, если называть там 2а суммой соответствующих расстояний.

Так вот, берем линейку, которая должна быть длиннее расстояния 2с, и нитку, длина которой равна длине линейки минус 2а. Один конец нитки закрепляем кнопкой в свободном фокусе (то есть не в том, в котором мы закрепили линейку), а другой ее конец

— 376 —

Прошу любить да жаловать! Это сама Лемниската Яковлевна Бернулли. Основное ее свойство в том, что произведение [(F₁A) (AF₂)] есть величина постоянная, то есть площадь квадрата со сторонойF₁Oравна площади прямоугольника со сторонамиF₁АиAF₂.