100 великих научных открытий

«Лейбниц в противовес конкретному, эмпиричному, осмотрительному Ньютону, — пишет В.П. Карцев, — был в области исчисления крупным систематиком, дерзким новатором. Он с юности мечтал создать символический язык, знаки которого отражали бы целые сцепления мыслей, давали бы исчерпывающую характеристику явления. Этот амбициозный и нереальный проект был, конечно, неосуществим; но он, видоизменившись, превратился в универсальную систему обозначений исчисления малых, которой мы пользуемся до сих пор. Он свободно оперирует знаками… которые он справедливо считает знаками обратных операций, и обращается с ними столь же вольно и свободно, как с алгебраическими символами. Он легко оперирует производными высших порядков, в то время как Ньютон вводит флюксии высшего порядка строго ограниченно, если это необходимо для решения конкретной задачи.

Лейбниц видел в своих дифференциалах и интегралах всеобщий метод, сознательно стремился к созданию жесткого алгоритма упрощенного решения ранее не решавшихся задач.

Ньютон же нисколько не заботился о том, чтобы сделать свой метод общедоступным. Его символика введена им лишь для „внутреннего“, личного потребления, он ее строго не придерживался».

Вот мнение советского математика А. Шибанова: «Склоняясь перед непререкаемым авторитетом своего великого соотечественника, английские ученые впоследствии канонизировали каждый штрих, каждую мельчайшую деталь его научной деятельности, даже введенные им для личного употребления математические знаки». «Над английской наукой тяготела традиция почитания Ньютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениями Лейбница, затрудняли прогресс», — соглашается голландский ученый Д.Я. Стройк.

В письме, написанном в июне 1677 года, Лейбниц прямо раскрывал Ньютону свой метод дифференциального исчисления. Тот на письмо Лейбница не ответил. Ньютон считал, что открытие принадлежит ему навечно. При этом достаточно того, что оно было запрятано лишь в его голове. Ученый искренне считал: своевременная публикация не приносит никаких прав. Перед Богом первооткрывателем всегда останется тот, кто открыл первым.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ

«Основная теорема алгебры в виде утверждения: алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его степень, высказана Жираром и Декартом, — отмечает в своей книге „В мире уравнений“ В.А. Никифоровский. — Ее формулировка, состоящая в том, что алгебраический многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение действительных линейных и квадратичных множителей, принадлежит Д'Аламберу и Эйлеру. Эйлер впервые сообщил об этом в письме Николаю I Бернулли (1687–1759) от 1 сентября 1742 года. Отсюда следовало, что корни алгебраических уравнений с действительными коэффициентами принадлежат полю комплексных чисел».

Первое доказательство теоремы предпринял в 1746 году Д'Аламбер (1717–1783). Доказательство основной теоремы алгебры, выполненное Д'Аламбером, было, однако, аналитическим, а не алгебраическим. Французский математик воспользовался не оформившимися еще в то время понятиями анализа, такими, как степенной ряд, бесконечно малая. Неудивительно, что доказательство теоремы страдало погрешностями и позднее подверглось разгромной критике Гаусса, а затем было забыто.

Новый и значительный шаг в доказательстве основной теоремы алгебры сделал Эйлер.

Леонард Эйлер (1707–1783) родился в Базеле. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базельский университет для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли — Николаем и Даниилом — возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Леонарда.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук. Они способствовали тому, что и Эйлер переехал в Россию.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д Бернулли, возвратившийся в этом году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году — к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году — к «несравненному Леонарду Эйлеру — главе математиков».

В 1736 году появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая. Немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике еще не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году — новая теория музыки.

В конце 1740 года власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно неуверенным», приглашение принял.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской Академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа — вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж, и сложилась новая наука.

Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе «Исследования о воображаемых корнях уравнений».

Эйлер выполнил наиболее алгебраическое доказательство теоремы. Позднее его основные идеи повторялись и углублялись другими математиками. Так, методы исследования уравнений получили развитие сначала у Лагранжа, а затем вошли составной частью в теорию Галуа.

Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.

Значения чисел, не являющиеся действительными, «Эйлер называл воображаемыми, — пишет Никифоровский, — и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа Следовательно, если воображаемых корней будет 2 т, то это даст т действительных квадратичных множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет. „Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи“.