А ну-ка, догадайся!

empty-line />

_{Чье решение, по-вашему, правильно? Оба рассуждения — мужчины и женщины — не могут быть правильными. Какое из них неправильно и в чем? Это новый парадокс, и даже специалисты не знают пока, как его решить.}

Это последний и наиболее поразительный из парадоксов, связанных с предсказанием, которые обсуждают современные философы. Придумал его физик Уильям Ньюком, в честь которого он и был назван парадоксом Ньюкома. Впервые его опубликовал и проанализировал философ из Гарвардского университета Роберт Нозик. Работа Нозика опиралась на такие разделы современной математики, как «теория игр» и «теория решений».

Решение мужчины выбрать ящик Впонять нетрудно. Рассуждения женщины станут понятнее, если мы вспомним, что Омега вышел из комнаты и, следовательно, не может изменить содержимое ящика В.

Если ящик Впуст, то так и останется пустым. Если в нем чек на миллион долларов, то этот чек никуда не исчезнет. Рассмотрим оба случая.

Если в ящике Внаходится чек на миллион долларов и женщина выбирает только ящик В, то она получает миллион долларов. Но если она выбирает оба ящика, то получает миллион плюс тысячу долларов.

Если ящик В пуст и женщина выбирает только ящик В, то она не получает ничего. Если же она выбирает оба ящика, то получает 1000 долларов.

Следовательно, в любом случае женщина, выбрав оба ящика, станет богаче по крайней мере на 1000 долларов.

Парадокс Ньюкома служит своего рода лакмусовой бумажкой для проверки, верит или не верит человек в свободу воли. Воможные реакции на парадокс подразделяются (почти поровну) на два типа: те, кто верит в свободу воли, выбирают два ящика; сторонники детерминизма предпочитают выбирать только ящик В. Имеются и такие, кто считает парадокс Ньюкома противоречивым независимо от того, полностью или не полностью предопределено будущее.

Подробный обзор различных, нередко противоположных, взглядов на парадокс Ньюкома приведен в разделе «Математические игры» журнала Scientific American мной (июль 1973) и профессором Нозиком (март 1974).

2. ЧИСЛА Парадоксы о целых числах, дробях и бесконечной лестнице

Парадоксы с числами оказали сильное влияние на историю математики. Противореча нашей интуиции, они не раз приводили в изумление и ставили в тупик математиков. Классическими примерами таких парадоксов могут служить открытия:

1) иррациональных чисел 2 ^1/2 , , еи бесчисленного множества других;

2) мнимых чисел (числа (-1) ^1/2 и кратных ему) и комплексных чисел, часть которых составляют мнимые числа;

3) чисел (например, кватернионов), для которых нарушается коммутативный закон умножения: aх Ьне равно Ь х а;

4) чисел (например, чисел Кэли), для которых нарушается ассоциативный закон умножения ах ( Ьх с) не равно ( ах Ь) х с;

5) трансфинитных, или бесконечных, чисел (например, «алефы», введенные Георгом Кантором, который, по словам Давида Гильберта, «открыл перед математиками новый рай»).

Собранные в этой главе парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. Исключение составляют только три последних парадокса, в которых речь идет об иррациональных и трансфинитных числах. По замыслу автора они должны не только позабавить, но и заинтересовать вас настолько, чтобы вы на свой страх и риск попытались самостоятельно разобраться в тех важных разделах теории чисел, которые в них затрагиваются. Так, «Вездесущая девятка» подводит нас к конечным арифметикам, а «Необычное завещание» — к диофантову анализу. Многие арифметические парадоксы послужат отправными точками для перехода к обобщенным алгебраическим решениям, которые отточат вашу алгебраическую технику. В самом конце главы перед нами откроется пленительный вид на канторовский рай — область математики, продолжающую бурно развиваться и в наше время.

Загадка шести стульев

_{Шестеро друзей заказали столик в популярной дискотеке.} В последнюю минуту к ним присоединился еще один товарищ, седьмой по счету.

_{Владелица дискотеки.Ну вот, наконец-то гости пришли! Я накрыла для них столик на шесть персон, но, должно быть, ошиблась: их не шесть, а семь!}

_{Владелица дискотеки.Впрочем, все отлично устроится! Первого гостя я посажу на первое место и попрошу его на минутку взять к себе на колени партнершу.}

_{Владелица дискотеки.Третьего гостя я посажу рядом с двумя первыми, четвертого — рядом с третьим. Пятый сядет против того, кто держит партнершу на коленях, шестой — рядом с пятым. Получилось неплохо: я рассадила шестерых и одно место за столом осталось свободным!}

_{Владелица дискотеки.Это место я попрошу занять партнершу, которая пока сидела на коленях у первого гостя. Разве не удивительно? Семь гостей владелица дискотеки рассадила на шести стульях, по одному на каждом стуле!}

Не сомневаюсь, что вы без труда обнаружите логическую ошибку в приведенном мною варианте старого парадокса о ловком хозяине гостиницы, сумевшем разместить десять гостей в девяти номерах так, что каждому из них досталось по отдельной комнате (см. мою статью «Математические софизмы» [6] ).

6

Гарднер М.Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971, с. 125–132.

Парадокс разрешается, если понять, что партнерша, которую владелица дискотеки попросила первого гостя подержать на коленях, в действительности гость номер 2 (а не 7). Седьмому гостю не нашлось места за столом, а второй гость или, точнее, гостья, сойдя с колен своего партнера, пересела на шестое место.

На первый взгляд, кажется, будто этот парадокс нарушает теорему о том, что конечное множество из nэлементов может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие только с конечными множествами из nэлементов. Мы еще вернемся к этой теореме в парадоксе "Отель «Бесконечность»". «Загадка шести стульев» — занимательный пример различия между конечными и бесконечными множествами.

Неуловимая прибыль

_{Деннис продал одну из своих картин Джорджу за 100 долларов.}

_{Джордж повесил было картину у себя дома, но потом она перестала ему нравиться, и он продал ее Деннису за 80 долларов.}

_{Через неделю Деннис продал картину Джерри за 90 долларов Деннис. Ты совершил удачную покупку, Джерри. Лет через десять эта картина будет стоить в 50 раз дороже, чем ты заплатил за нее!}