Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

* * *

Набожный лютеранин, Кантор вел широкую переписку с духовными лицами по поводу значимости своих результатов. Он полагал, что его подход к бесконечности продемонстрировал ее постигаемость человеческим разумом, а поэтому подвел человека ближе к Богу. Среди предков Кантора были и евреи, что, как полагают многие, повлияло на его выбор буквы алеф в качестве символа для бесконечности: великий математик мог знать, что в мистической еврейской традиции Каббалы алеф обозначает высшее проявление Бога. Сам же Кантор говорил, что гордится своим выбором алефа, поскольку эта буква, первая буква древнееврейского алфавита, — очень подходящий символ для нового начала.

Алеф годится и для завершения нашего путешествия в мир математики. Эта наука, как я писал в начальных главах этой книги, возникла из стремления человека придать смысл тому, что его окружает. Делая насечки на стволах деревьев или считая на пальцах, наши далекие предки изобрели числа. Числа помогали и в земледелии, и в торговле, они открыли человечеству дверь в «цивилизацию». Затем, по мере развития математики, предметом ее стали в меньшей степени реальные вещи, а в большей — абстракции. Греки ввели в обиход такие концепции, как точка и линия, а индусы изобрели нуль и тем самым проложили дорогу к еще более радикальным абстракциям — отрицательным числам. Хотя эти концепции казались сначала идущими вразрез с интуицией, они довольно быстро были приняты, и ныне мы пользуемся ими ежедневно. К концу XIX столетия, однако, пуповина, связывающая математику с непосредственным опытом, была разорвана раз и навсегда. После Римана и Кантора она потеряла какую-либо связь с интуитивным восприятием мира.

Обнаружив кардинальное число ₀, Кантор не остановился и доказал, что имеются даже еще большие бесконечности. Как мы видели, c —это число точек на прямой. Оно же есть число точек на двумерной поверхности. (Еще один удивительный результат, который вам придется принять с моих слов на веру.) Пусть d— число всевозможных кривых, линий и загогулин, которые можно нарисовать на двумерной поверхности. Используя теорию множеств, можно доказать, что dбольше, чем с. Можно двинуться и дальше — показать, что должна иметься бесконечность еще большая, чем dНикто, впрочем, не смог предъявить множество вещей, кардинальное число которого было бы больше, чем d.

Кантор увел нас далеко за пределы вообразимого. Это довольно чудесное место и, занятным образом, противоположное тому, в котором пребывает племя в бассейне Амазонки, о котором говорилось в начале книги. У мундуруку много вещей, но не хватает чисел, чтобы их пересчитать. Кантор предоставил нам числа в неограниченном избытке, зато теперь у нас не хватает вещей, которые можно было пересчитывать с их помощью.

Список литературы

Подробную библиографию по каждой главе, а также приложения можно найти на веб-сайте www.alexbeIlos.com . Ниже перечислены наиболее существенные книги, из которых я почерпнул информацию.

Acheson D. 1089, and All That.New York: Oxford University Press. 2002.

Aczel A. D. Chance.New York: Basic Books, 2005.

Aczel A. D. The Mystery of the Aleph.New York: Washington Square Press, 2000.

Andrews F. E. New Numbers.London: Faber & Faber, 1936. Balliett L. D. The Philosophy of Numbers.Atlantic City, N.J.: L. N. Fowler & Co., 1908.

Beckmann P. A History of Pi.New York: St. Martin’s, 1971.

Bell E. T. Numerology.New York: Century, 1933.

Bell E. T. Men of Mathematics.New York: Touchstone, 1937.

Bennett D. J. Randomness.Cambridge: Harvard University Press. 1998.

Bentley P. J. The Book of Numbers.London: Cassell Illustrated, 2008.

Berggren L., Borwein J., and Borwein P. Pi: A Source Book.New York: Springer, 2003.

Butterworth B. The Mathematical Brain.London: Macmillan, 1999.

Cajori F. A History of Mathematical Notations.New York: Dover, 1993 (facsimile of original by Illinois: Open Court, 1928/9).

Cohen I. B. The Triumph of Numbers.New York: W. W. Norton, 2005.

Darling D. The Universal Book of Mathematics.Hoboken, N.J.: Wiley, 2004.

Dehaene S. The Number Sense.Oxford: Oxford University Press, 1997.

Derbyshire J. Unknown Quantity.London: Atlantic Books, 2006.

Devlin K. All the Math That's Fit to Print.Washington: Mathematical Association of America, 1994.

Dudley U. Numerology.Washington: Mathematical Association of America, 1997.

Dudley U. (ed.). Is Mathematics Inevitable?Washington: Mathematical Association of America, 2008.

Du Sautoy M. Finding Moonshine.London: Fourth Estate, 2008.

Du Sautoy M. The Music of the Primes.London: Fourth Estate, 2003.

Eastaway R., Wyndham J. How Long Is a Piece of String?London: Robson Books, 2002.

Eastaway R., Wyndham J. Why Do Buses Come in Threes?London: Robson Books, 1998.

Ferguson K. The Music of Pythagoras.New York: Walker, 2008.

Fibonacci L. Fibonacci’s Liber Abaci.New York: Springer, 2002.

Gardner M. Martin Gardner's Mathematical Games.Washington: Mathematical Association of America, 2005.

Gowers T. Mathematics: A Very Short Introduction.Oxford: Oxford University Press, 2002.

Gullberg J. Mathematics: From the Birth of Numbers.New York: W. W. Norton, 1997.

Hidetoshi F., Rothman T. Sacred Mathematics.Princeton: Princeton University Press, 2008.

Hodges A. One to Nine.London: Short Books, 2007.

Hoffman P. The Man Who Loved Only Numbers.London: Fourth Estate, 1998.

Hogben L. Mathematics for the Million.London: George Allen & Unwin, 1936.

Hull T. Project Origami.Natick, Mass.: AK Peters, 2006.

Ifrah G. The Universal History of Numbers.Hoboken, N.J.: Wiley, 2000.

Joseph G. G. Crest of the Peacock.London: Penguin, 1992.