Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)
Шрифт:
Прежде чем рассматривать работы А. В. Шубникова в области геометрии, приведем высказывания Б. Н. Делоне, затрагивающие интересующий нас вопрос: «...я узнал, что в своей работе еще 1916 г. „К вопросу о строении кристаллов" Алексей Васильевич показал, что есть 11, и только 11, комбинаторно разных разбиений плоскости на то, что он называл в этой работе „планатомы". Это разбиение дуально с разбиением на „планигоны“. В 1931 году Ф. Лавэс заново открыл этот факт, то есть число И (для планигонов), и только в сноске к своей работе отмечает, что он узнал, что этот геометрический факт был уже 15 лет перед тем открыт А. В. Шубниковым.
Существование такой работы А. В. Шубникова меня тогда озадачило. Да ведь он не только блестящий экспериментатор и исследователь природы, а и математик» [Л. 57, с. 383].
Круг проблем, связанных с заполнением плоскости и пространства, очерчен в двух статьях А. В. Шубникова [15, 25].
Этот вопрос имеет давнюю историю. В 1611 г. гениальный Кеплер в небольшом трактате «О шестиугольном снеге» задался вопросом о первопричине образования звездчатой шестиугольной формы снежных кристалликов. Заимствовав у пчел форму ромбододекаэдра, И. Кеплер писал: «Итак,
Другая плотнейшая, а именно гексагональная, упаковка открыта В. Барлоу лишь в конце XIX в. Исходя из шаровых укладок. Кеплер выводит три идеальных параллелоэдра: ромбододекаэдр, гексагональную призму с пинакоидом и куб. Кубооктаэдр, известный еще строителям Софийского собора в Константинополе и положенный в основу при проектировании центрального купола, был введен в кристаллографию Е. С. Федоровым, а И. Кеплеру оставался неизвестным.
Интересные соображения, связанные с упаковкой идентичных частиц, высказывал И. Ньютон в «Оптике», М. В. Ломоносов в работе «О рождении и природе селитры». Для полноты картины в список приверженцев решетчатого строения кристаллов XVII—XVIII вв. следует добавить имена Вестфельда и Бергмана, полагавших, что кристаллы кальцита построены из одинаковых крошечных ромбоэдров, примыкающих друг к другу своими гранями и заполняющих пространство без промежутков.
Таким образом, идея решетчатого строения кристаллов буквально «висела в воздухе» перед тем, как французским кристаллографом Р. Ж. Гаюи была создана первая по времени теория структуры кристаллов. Чисто опытным путем Гаюи нашел пять типов примитивных спайных «кирпичиков», из которых только параллелепипед, гексагональная призма и ромбододекаэдр заполняют пространство. Но в 1824 г. А. Зеебер пришел к заключению о невозможности сказать что-либо достоверное об истинной форме гипотетических элементарных «кирпичиков», и это натолкнуло его на мысль заменить их центром тяжести. Этот подход привел Зеебера к системе точек, которую он и назвал впервые «пространственной решеткой». С этого момента развитие теории заполнения пространства происходит по двум направлениям — кристаллографическому и математическому. Оба они пересекаются в трудах Б. Н. Делоне.[* Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И. Теория Браве и ее обобщение на я-мерные решетки. — В кн.: Браве О. Избранные научные труды. Л.: Наука, 1974, с. 309—413; Современная теория правильных разбиений эвклидова пространства. — В кн.: Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 235—260.]
| Год | Автор | Предмет открытия |
| 1611 | Кеплер | Первые идеи о геометрии шаровых упаковок |
| 1721 | Ньютон | Идеи кристаллической решетки |
| 1824—1831 | Зеебер, Гаусс | Определение понятия решетки и ее свойств в теории чисел |
| 1835 | Франкенгейм | 15 решеток |
| 1848 | Дирихле | Понятие «областей Дирихле» |
| 1849 | Браве | 14 решеток |
| 1885 | Федоров | «Начала учения о фигурах». Параллелоэдры |
| 1897 | Барлоу | Плотнейшая гексагональная упаковка |
| 1899 | Федоров | Правильное деление плоскости и пространства |
| 1908 | Вороной | Алгоритм вывода всех примитивных параллелоэдров я-мерного пространства |
| 1916 | Шубников | 11 комбинаторно-различных разбиений плоскости |
| 1924 | Шубников | Идеи разбиения многомерных пространств |
| 1930 | Лавэс | 11 комбинаторно-различных разбиений плоскости |
| 1934 | Коксетер | Вывод групп с отражениями для я-мерных пространств |
| 1934 | Делоне, Александров | Теория кристаллического «состояния» с точки зрения теории решеток, параллелоэдров |
| 1939 | Шубников | Пространственные калейдоскопы (7 коксетеровских групп) |
| 1947 | Белов | Полная систематика плотнейших шаровых упаковок |
| 1959 | Делоне | Завершение теории планигонов |
| 1961 | Делоне, Сандакова | Доказательство основной теоремы стереоэдров и алгоритм построения стереоэдров Дирихле |
| 1965 | Заморзаев | Контрпример к основной теореме о стереоэдрах |
| 1974—1979 | Делоне, | Теория Браве и ее обобщение на п- мерные решетки |
| Галиулин, | Современная теория правильных разбиений евклидова пространства | |
| Штогрин |
* Ссылки на первоисточники содержатся в работах Б. Н. Делоне с соавторами; Делоне Б. Н. и др. Теория Браве... .
Рассмотрим вначале кристаллографическое направление. Следующим шагом в развитии теории решетчатого строения кристаллических тел был вывод в 1835 г. М. Л. Франкенгеймом 15 решетчатых расположений. Эта проблема была окончательно решена О. Браве, который свел их к 14 решеткам, названным впоследствии его именем.
Следующий этап развития кристаллографического направления — это труды Е. С. Федорова. В 1885 г. увидели свет его «Начала учения о фигурах», в которых впервые устанавливаются законы заполнения пространства параллелоэдрами, дается их полный список с учетом деформации, определяется понятие стереоэдра. Последние он связывает с правильными системами точек. Проблема правильного деления плоскости и пространства окончательно решена в монографии Е. С. Федорова, кристаллографическая направленность которой видна из следующего высказывания автора: «Теория кристаллического строения, помимо всего прочего, выдвинула следующую чисто геометрическую проблему: закономерно разделить бесконечное воображаемое пространство на конгруэнтные и соответственно симметрично-равные конечные пространственные фигуры».[* Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 7.]
Следующей «кристаллографической» статьей можно считать публикацию А. В. Шубникова [15], который писал по поводу этой статьи: «... Примерно в 1915 году мне пришла в голову мысль: нельзя ли вывести такие многогранники, которые вместо одинаковых граней имели бы одинаковые ребра. Эту задачу мне удалось решить... Когда работа была закончена, я не без страха решил показать ее своему учителю. Ю. В. Вульф внимательно просмотрел мои чертежи, затем молча подошел к шкафу и вынул оттуда „Начала учения о фигурах" Е. С. Федорова. Открыв последние страницы этой книги, Вульф показал мне в ней те самые чертежи, которые были сделаны мною. Выведенные мною многогранники у Е. С. Федорова были названы изогонами. Кроме них, в книге были изображены все обобщенные простые формы (как кристаллографические, так и некристаллографические), названные Федоровым изоэдрами... Занимаясь изучением книги Е. С. Федорова... где, в частности, решается вопрос о заполнении трехмерного пространства многогранниками без промежутков, я обнаружил, что Е. С. Федоров не включил в эту книгу вопрос о заполнении плоскости многоугольниками без промежутков. Эту задачу я попробовал решить самостоятельно, и мне это удалось. В результате появилась моя статья с крайне неудачным названием „К вопросу о строении кристаллов"...» [342, с. 9].
Из этой статьи А. В. Шубникова следует так называемая теорема Шубникова—Лавэса, от которой и происходит деление плоскости на 11 топологически различных разбиений, на стандартные планигоны.
В следующей статье этого цикла А. В. Шубников с помощью весьма наглядных представлений разбирает проблемы заполнения пространства кубом, ромбододекаэдром и комбинацией куба и октаэдра — кубооктаэдром. В частности, он делает вывод, что «для элементов выпуклого четырехмерного многогранника мы имеем то же соотношение, что и для трехмерного пространства, сплошь заполненного многогранниками» [25, с. 197].
В 1939 г., когда общая теория параллелоэдров трехмерного пространства была уже завершена, появляется статья А. В. Шубникова [122], начинающаяся следующим образом: «В основу вывода 32 точечных групп симметрии кристаллов Г. Вульф кладет калейдоскопическое повторение сферических треугольников на шаре. Для вывода пространственных групп, очевидно, можно было бы исходить из калейдоскопического повторения многогранников в пространстве...
Пространственным калейдоскопом... мы называем такой многогранник, из которого путем последовательного зеркального отражения в плоскостях его граней получаются новые многогранники, выполняющие пространство без промежутков» [122, с. 3].
Таким образом, А. В. Шубниковым получено семь (и только семь) пространственных калейдоскопов, заполняющих пространство. Комментарий Б. Н. Делоне к этой работе таков: «Работа А. В. Шубникова 1939 года „Пространственные калейдоскопы" тоже математическая... Этот вывод трехмерных коксетеровских групп... В силу одной теории Фробениуса из этих групп можно получить все федоровские группы, но этот их вывод, по-видимому, наткнется на очень уж большой перебор» [Л. 57, с. 383].
Современная теория правильных разбиений эвклидова пространства содержится в двух работах Б. Н. Делоне и его соавторов, причем в первой из них «подробно рассмотрены те стороны арифметического метода, которые непосредственно связаны с работами Браве».[* Делоне Б. Н. и др. Теория Браве..., с. 309.] Коротко рассмотрим математический аспект развития этой теории. В 1831 г. К. Ф. Гаусс, реферируя работу Зеебера, определил и расширил понятие решетки. Ученик Гаусса П. Л. Дирихле существенно продвинулся в изучении решетчатых систем, определив понятие областей действия точек решетки (параллелоэдры Дирихле). Его результаты были обобщены Г. Ф. Вороным.
Конкретные модификации теории разбиение пространства с отказом от выпуклости и плоскогранности стереоэдров нашли отражение в работе аспиранта Шубникова Н. М. Башкирова, построившего однозначно задающие федоровскую группу стереоны (фундаментальные области- группы).
В заключение отметим, что упоминавшиеся теории А. В. Шубников использовал эпизодически. Теория упаковок и параллелоэдров была им конструктивно использована практически только в одной статье [202].
К «геометрическим» относятся следующие работы А. В. Шубникова [98, 99, 226, 295]. Первая из них восходит к «задаче Бюффона» о бросании иглы (теория вероятностей), решенной Л. Эйлером. Однако и в этот вопрос А. В. Шубников внес отчетливо кристаллографический оттенок, что с позиций теории симметрии привело к нетривиальному результату. К другому направлению принадлежит его статья о случайных сечениях ромбододекаэдра [99]. Работа А. В. Шубникова [226] может служить иллюстрацией к им же самим введенным предельным группам точечной симметрии и соответствующим простым формам. Статья [295] задевает наибольшее число нерешенных проблем, поскольку касается комбинаторно-топологических структур аморфных тел. Дело в том, что в химии эти структуры уже известны (катенаны, узлы), однако пока не существует даже приблизительной систематики кольцевых структур в рамках предложенной А. В. Шубниковым модели.