Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

В рамках формализма вопрос о существовании «недоступных» множеств лишен смысла: по правилам одних систем они существуют, по правилам других — нет; это все, что можно сказать по данной теме. В обоих подходах есть свои нюансы, сильные и слабые стороны, и оба используются сегодня математиками. Спор между платонистами и формалистами — следствие кризиса оснований. Кантор не дожил до него, но если бы он знал об этой дискуссии, чью сторону принял бы? Он полагал, что математики абсолютно свободны в определении понятий и в расстановке приоритетов — с одним лишь условием: в результате не возникает логических противоречий. Такой подход приближал его к формализму. Однако в то же время в некоторых работах он как будто отстаивал мнение о том, что понятия, определенные математиками, имеют собственное объективное существование в разуме Бога. Это сближает его с платонизмом.

Противостояние платонизма и формализма также связано с решением проблемы континуум-гипотезы. Напомним, что она была сформулирована Кантором и утверждает, что 2^X₀ = X₁.

В 1940 году Курт Гедель доказал, что в рамках любой из обычно используемых систем аксиом для теории множеств невозможно доказать ложность этого равенства. А в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934-2007) доказал, в свою очередь, что невозможно доказать и то, что оно верное. Таким образом, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута ни одной из использующихся сейчас систем аксиом. Так верная она или ложная? Для формалистов этот вопрос не имеет смысла: аксиомы — всего лишь правила игры, установленные произвольно, они не описывают никакую внешнюю «истину».

Согласно этой точке зрения, к любой теории множеств можно добавить новую аксиому, которая позволит или подтвердить, или опровергнуть континуум-гипотезу. Платоники же считают, что вне зависимости от наших аксиом равенство 2^X₀ = X₁ является либо объективно верным, либо ложным, и рано или поздно будет найдена такая система аксиом, которая решит этот вопрос однозначно. Таким образом, в рамках формализма этот вопрос закрыт, в рамках платонизма — остается открытым.

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

В 1935 году впервые собрался Николя Бурбаки. Эта фраза кажется странной, но в действительности Николя Бурбаки — не человек, а коллективный псевдоним, который взяла себе группа преимущественно французских математиков. Целью первой встречи группы было установление способов достижения назначенной цели (над которыми Бурбаки работает и сейчас, хотя члены группы, разумеется, сменились).

Как мы увидели, аксиомы Цермело — Френкеля (речь только об этих конкретных аксиомах, потому что они чаще всего используются) позволили наконец решить проблему парадоксов теории множеств, расчистив путь для программы Фреге по обоснованию математики на понятиях множеств. Его попытался возобновить Рассел, но безуспешно. Целью Бурбаки было завершить проект Фреге. Для этого на первом собрании в 1935 году математики договорились написать серию томов под названием «Начала математики», каждый из которых был бы посвящен отдельной области этой науки. В каждой книге разбираемые понятия рассмотрены с максимально возможной логической строгостью, чтобы создать устойчивую базу для дальнейшего развития. Так или иначе, основой этих определений была теория множеств.

На сегодняшний день из-под пера Бурбаки вышло более дюжины томов. Несмотря на критику слишком сухого стиля, они имели и продолжают иметь огромное влияние на установление логических основ современной математики. С другой стороны, хотя сочинения Бурбаки должны были стать базой для работы других ученых — исследователей, которые создают и открывают новые понятия и теоремы, — их влияние распространилось и на преподавание математики, особенно во второй половине XX века, посредством так называемой «современной математики».

НИКОЛЯ БУРБАКИ

Согласно вымышленной биографии, Николя Бурбаки был генералом французской армии греческого происхождения. Уйдя в отставку, он якобы посвятил себя изучению математики и жил в несуществующем городе Нанкаго: скорее всего, это название является комбинацией городов Нанси во Франции и Чикаго в США, так как некоторые создатели Бурбаки были тесно связаны с тамошними университетами. «Николя Бурбаки» — это коллективный псевдоним, который избрала себе в середине 1930-х годов группа математиков, в основном французских.

Считается, что они выбрали его отчасти в шутку, отчасти чтобы не подписывать длинным списком фамилий работы, сделанные несколькими учеными.

Несмотря на то что почти все члены группы стремились сохранить в тайне свою принадлежность к ней, сейчас нам известно, что под псевдонимом Бурбаки скрывались от 10 до 20 участников, а среди создателей группы были такие известные французские математики, как Андре Вейль (1906-1998), Жан Дьедонне (1906-1992) и Клод Шевалле (1909-1984).

Портрет вымышленного генерала Николя Бурбаки.

В то время в рамках этого направления было предложено преподавать все математические понятия исходя из идей теории множеств, даже в начальной школе (что вызвало прямо противоположные мнения). Однако это педагогическое течение утратило почти весь свой авторитет и полностью заброшено.

И тем не менее теория множеств жива и прекрасно себя чувствует. Как и задумывали Кантор, Дедекинд и Фреге и благодаря работе Бурбаки, сегодня она стала основой всей математики.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.

Bunch, B.H., Matemdtica insolita (Paradojas у paralogismos), Mexico, Reverte, 1997.

Cantor, G., Fundamentes para una teoria general de conjuntos (Escritos у correspondencia selecta), edicion de Jose Ferreiros; Barcelona, Critica, 2006.

Hawking, S. (compilador у comentarista), Dios creo los ndmeros (Los descubrimientos matemdticos que cambiaron la historia), Barcelona, Critica, 2010.

Kasner, E., Newman, J., Matemdticos e imagination, Barcelona, Salvat, 1994.

Lavine, S., Comprendiendo el infinite, Mexico, Fondo de Cultura Economica, 2005.

Martin"on, A. (compilador), Las matemdticos del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.

Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.

Smullyan, R., Satan, Cantor у el infinito, Barcelona, Gedisa, 1995.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.

Указатель

Acta Mathematica 94-96, 114

ZF 154, 158

аксиомы Цермело — Френкеля 154, 156, 160

алеф 122, 123

Аристотель 8-10, 24-28, 31, 33, 38, 54, 79, 86

арифметика

ординальная 128

трансфинитная 123-126

Архимед 77

бесконечность

актуальная 9-11, 20, 23-28, 36, 38-40, 42, 56, 68, 72- 73, 90, 91, 102, 106, 142

потенциальная 9, 10, 20, 23-26, 36, 42, 69, 72, 98, 99, 102, 105, 106

Больцано, Бернард 10, 92