Большая Советская Энциклопедия (АН)

Отсюда уже нетрудно заключить, что дифференцируемость функции f в смысле комплексного анализа имеет место в том и только том случае, когда она дифференцируема в смысле действительного анализа и справедливо равенство ¶f/¶

= 0, являющееся краткой формой записи уравнений Коши — Римана; при этом

¶f/¶z = f’ = df/dz.

Равенство ¶f/¶

= 0 показывает, что дифференцируемыми в смысле комплексного анализа являются те и только те функции f, которые, рассматриваемые формально как функции независимых переменных z и

 «зависят только от z», являются «функциями комплексного переменного z».

Интеграл от функции f = j + iy вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой Г можно определить с помощью понятия криволинейного интеграла:

Центральное место в теории моногенных функций (теории Коши) занимает следующая итегральная теорема Коши: если функция моногенна в односвязной области D, то S_Гf(z)dz = 0 для любой замкнутой кривой Г, лежащей в этой области. В произвольной области D то же утверждение справедливо для замкнутых кривых Г, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку (оставаясь в пределах области D). Опираясь на интегральную теорему Коши, нетрудно доказать интегральную формулу Коши: если функция f моногенна в области D и Г — простая замкнутая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью D_Г то для любой точки z^ID_Г

(ориентация кривой Г предполагается положительной относительно области D _Г)

Пусть функция f моногенна в области D. Фиксируем произвольную точку z области D и обозначим через g окружность с центром в точке z и радиусом r > 0, принадлежащую, вместе со всем кругом: К: Iz - z_{I < r, области D. Тогда}

Представим ядро Коши 1/(t—z) для t^Ig и z^IK в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:

поэтому ряд сходится равномерно относительно t^Ig при любом фиксированном z^IK, интегрируя этот ряд — после умножения на

— почленно, получают разложение функции f в степенной ряд

сходящийся в круге K: I z - z _{I < r.}

Уточним теперь понятие аналитичности. Пусть f — функция, определённая в области D; она называется аналитической (или голоморфной) в точке z _{области , если существует окрестность этой точки (круг с центром в z), в которой функция f представляется степенным рядом:}

f (z) = a _{+ a1(z -z) + a2(z– z)² +. . . . + an(z– z)ⁿ+ . . .}

Если это свойство имеет место в каждой точке z области D, то функция f называется аналитической (голоморфной) в области D.

Выше было показано, что функция f, моногенная в области D, аналитична в этой области. В отдельной точке это утверждение неверно; например, функция f(z) = ^ez^e² = z

моногенна в точке z = 0, но нигде не аналитична. С другой стороны, функция f , аналитическая в точке z области D, моногенна в этой точке. Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному z; коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции f в точке z по формулам: a_n=f⁽ⁿ⁾(z)/n!. Степенной ряд, записанный в форме

называется рядом Тейлора функции f в точке z_{. Тем самым, аналитичность функции f в области D означает, что в каждой точке области D функция f бесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.}

Следовательно, понятия моногенности и аналитичности функции в области тождественны и каждое из следующих свойств функции f в области D — моногенность, дифференцируемость в смысле комплексного анализа, дифференцируемость в смысле действительного анализа вместе с выполнением уравнений Коши — Римана — может служить определением аналитичности f в этой области.

Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области D и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в D, совпадают и во всей области D (тождественны). В частности, аналитическая в области функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.

Если Е — произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция f (z), z^IE, называется аналитической на множестве E, если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении которой с множеством Е функция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что f аналитична на некотором открытом множестве, содержащем Е (точнее, существует открытое множество, содержащее Е, и аналитическая на нём функция, f совпадающая с f на множестве E). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой. Например,

С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А. ф. существенно свойство связности множества E. Поэтому А. ф. рассматриваются обычно в областях, т.е. на открытых и связных множествах.

Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности — т. н. особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f — А. ф. в области вида 0 < |z– z_{| < r; в этой области f разлагается в ряд Лорана:}