Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ)

применима, если а >0; вторая Э. п.

применима, если с > 0; третья Э. п.

где l — один из корней трёхчлена ax² + bx + c , применима, если корни этого трёхчлена действительны. На практике Э. п. требуют громоздких преобразований и потому вместо них обычно пользуются теми или иными искусств. приёмами, упрощающими вычисление.

Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых уравнений 2-й степени в рациональных числах.

Эйлера постоянная

Э'йлера постоя'нная, предел

 С= 0,577215 ...,

рассмотренный Л. Эйлером в 1740. Эйлер дал для С ряд представлений в форме рядов и интегралов; например,

,

,

где x(s ) — дзета-функция . Встречается в теории различных классов специальных функций, например гамма-функции . До сих пор неизвестно, является ли Э. п. иррациональным числом.

Эйлера уравнение

Э'йлера уравне'ние,

1) дифференциальное уравнение вида

, (*)

где a_o ,... , a_n — постоянные числа; при х> 0 уравнение (*) подстановкой х = et сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. Эйлером с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' = ax + b уравнение

.

2) Дифференциальное уравнение вида

,

где X (x ) = a _x⁴ + a₁ x³ + a₂x² + a₃ x + a₄ , Y (y ) = а _{у⁴ +а1 у}³+а₂ у²+а₃ у +a₄ . Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х , у ) = 0, где F (х , у ) — симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.

3) Дифференциальное уравнение вида

'

служащее в вариационном исчислении для разыскания экстремалей интеграла

.

Выведено Л. Эйлером в 1744.

Эйлера уравнения

Э'йлера уравне'ния,

1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_x

+ (I_z — I_y ) w_y w_z = M_x ,

I_y

+ (I_x — I_z ) w_z w_x = M_y , (1)

I_z

+ (I_y — I_x ) w_x w_y = M_z ,

где I_x , I_y , I_z — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, w_х , w_у , w_z — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x , M_y , M_z — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей;

,

,  

— проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения w_х , w_у , w_z через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид

w_x =

sin q sinj +

cosj,

w_у =

sin q cosj —

sinj, (2)

w_z =

 +

cos q.