Большая Советская Энциклопедия (КО)

(разности 2-го порядка),

Dⁿ y_k o Dⁿ f (x_k ) = D^n-1 f (x_k+1 ) - D^n-1 f (x_k )

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности «назад» Dⁿy_к определяются равенствами

Dⁿ y_к = Dⁿ y_{к+ n} .

При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями dⁿ y , которые вычисляются при нечётном n в точках х = x_i +¹ l₂ h, а при чётном n в точках х = x_i по формулам

df (x_i + ¹ /₂ h) o dy_i+1/2 = f (x_i+1 ) - f (x_i ),

d² f (x_i ) o d² y_i = dy_i+1/2 ,

d^2m-1 f (x_i + ¹ /₂ h) o d^2т—1yi_+1/2 = d^2т—2yi₊₁– d^2т—2yi ,

d^2m f (x_i ) o d^2т у_i = d^2т—1yi_+1/2– d^2т—1yi_{– 1/2}

Они дополняются средними арифметическими

,

,

где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

Центральные разности dⁿy связаны с конечными разностями Dⁿy соотношениями

d^2т у_i = D^2т у_i-m ,

d^2т+1yi_+1/2 =   D^2m+1 y_i-m

Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x_k+1 – x_k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

.

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dⁿ y_k = f ⁽ⁿ⁾ (

), где x_k lb

lbx_k+n . Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),..., Dⁿ f (x)] = 0 (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n– го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x₁ ),..., f (x_n ) ] = ,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a₁ f (x+n-1) +... + a_n f (x) = 0,

где a₁ ,..., a_n — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l₁ , l₂ ,... l_n его характеристического уравнения

lⁿ + a₁ l^n-1 +...+a_n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С₁ l₁^х + C₂ l₂^x +... + C_n l_n^x ,

где C₁ , C₂ ,..., C_n— произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l₁ , l₂ ,..., l_n нет равных).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

Под редакцией Н. С. Бахвалова.

Конжаковский камень

Конжако'вский ка'мень, один из самых высоких горных массивов Урала. Расположен в северной части Среднего Урала, в Свердловской области РСФСР. Высота 1569 м. Сложен пироксенитами, дунитами и габбро. Склоны глубоко изрезаны речными долинами и покрыты хвойными лесами (сосна, лиственница, ель) с примесью берёзы. Выше 900—1000 м — горная тундра, каменные россыпи.

Кони Анатолий Федорович

Ко'ни Анатолий Федорович [28.1(9.2).1844, Петербург, — 17.9.1927, Ленинград], русский юрист, общественный деятель и литератор, сын Ф. А. Кони . Доктор права (1890), почётный член Московского университета (1892), почётный академик Петербургской АН (1900), член Государственного совета (1907), член законодательной комиссий по подготовке многочисленных законов и положений, член и председатель Петербургского юридического общества (1916). Окончил юридический факультет Московского университета (1865). С 1866 служил в судебных органах (помощником секретаря судебной палаты в Петербурге, секретарь прокурора Московской судебной палаты, товарищ прокурора Сумского и Харьковского окружных судов, прокурор Казанского окружного суда, товарищ прокурора, а затем прокурор Петербургского окружного суда, обер-прокурор кассационного департамента Сената, сенатор уголовного кассационного департамента Сената). Сторонник демократических принципов судопроизводства, введённых судебной реформой 1864 (суд присяжных, гласность судебного процесса и т. д.). В области государственного и общественного строя придерживался умеренно-либеральных взглядов. Приобрёл широкую известность в связи с делом В. И. Засулич , обвинявшейся в покушении на убийство петербургского градоначальника генерала Ф. Ф. Трепова. Деятельность К. носила прогрессивный, гуманный характер. После Великой Октябрьской социалистической революции К. продолжал литературную работу, был профессором уголовного судопроизводства в Петроградском университете (1918—22), выступал с лекциями в научных, общественных, творческих организациях и культурно-просветительных учреждениях.