Большая Советская Энциклопедия (КР)

 (1)

имеет бесконечное множество решений u (x₁, х₂) = f (x₁+x₂) + f₁(x₁– x₂), где f и f₁ — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике —а lb x₂  lb a, 0 lb x₁lb l, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x₁, x₂ уравнение (1) имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым

u (0, x₂) = 0, u (l, x₂) = 0, —а lb x₂  lb a, (2)

и начальным

u (x₁, 0) = j(x₁),

 (3)

условиям. При этом дважды непрерывно дифференцируемые функции j и y считаются наперёд заданными. Если переменное x₂ есть время t, то решение u (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины l с концами, закрепленными в точках (0, 0) и (0, l). Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) — простейший пример так называемой смешанной задачи.

Вообще краевыми называют задачи, в которых в заданной области G пространства независимых переменных (x₁,..., x_n) = х ищется решение u (х) = u (x₁,..., x_n) уравнения

Du (x) = 0, x ^I G (4)

при требовании, что искомая функция u (х) на границе S области G удовлетворяет краевому (граничному) условию

Bu (у) = 0, y ^I S, (5)

где D и В — заданные операторы, причём, как правило, D — дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница S называется носителем краевых данных (5).

Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что S является (n —1)-мерной гиперповерхностью, D — линейным дифференциальным оператором второго порядка

,

а

,

где A_{i, j}, B_i, C, F, f — заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же

,

где a_i, i = 1,..., n, f — заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a₁,..., a_n) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если

F (x) = 0, f (y) = .

Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий

, x ^I G

S (6)

где l₁,..., l_n — произвольные действительные параметры, а k и k₁ — фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.

При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия

С (x) lb 0, x ^I G,

задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).

Когда D представляет собой оператор Лапласа

, решение задачи Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей всегда существует и единственно, причём для некоторых областей частного вида оно выписывается в явном виде. Так, например, при n = 1 в интервале —1 < х < 1 это решение имеет вид

u (х) =

,

где f₁= u (—1), f₂ = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1

,

,

где |х—у| — расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) — 5).

В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.

Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма

в области D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.

Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a₁..., a_n) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.

Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности