Большая Советская Энциклопедия (МА)
Шрифт:
Игра Баше. Из кучки, содержащей n (например, 35) предметов, двое играющих берут поочерёдно не более чем по m (например, 5) предметов. Выигрывает тот, кто возьмёт последние предметы. Теория игры устанавливает, что если n не делится на m + 1, то начинающий игру непременно выиграет, если каждый раз будет оставлять партнёру число предметов, кратное m + 1 (в примере — кратное 6).
Игра «15». Играет один человек. На шестнадцатиклеточной доске расположены в случайном порядке 15 перенумерованных шашек. Передвигая шашку одну за другой на свободную клетку с любой из смежных с ней клеток, требуется упорядочить расположение шашек (привести к нормальному расположению — положению 1, указанному на рисунке 1). Теоретический анализ игры, известный с 1879, показывает, что задача может быть решена только в том случае, если число инверсий (то есть число нарушений нормального расположения), образуемых номерами шашек в исходном положении, имеет ту же чётность, что и номер строки, в которой есть свободная клетка. Чтобы установить число инверсий, надо для каждой шашки подсчитать число предшествующих ей шашек с большим номером и сложить все эти числа; их сумма и
Полное математическое обоснование имеется также у таких М. р. и и., как вычерчивание фигур одним росчерком, лабиринты, комбинированные задачи на шахматной доске и другие. Большая группа М. р. и и. связана с поисками оригинальных и красивых решений задач, допускающих практически неисчерпаемое или даже бесконечное множество решений.
К числу таких развлечений относится, например, «составление паркетов» — задача о заполнении плоскости правильно чередующимися фигурами одного и того же вида (например, одноимёнными правильными многоугольниками) или нескольких данных видов. Если «двухцветный квадратный паркет» с осями симметрии А’ А и B’B (см. рис. 2 ) составляется из 4n2 равных квадратов, каждый из которых разбит диагональю на белую и чёрную половины, то число различных паркетов равно 4n2 (это число быстро растет при возрастании n ).
Очень большое, до сих пор точно не установленное число решений имеют также: задача Эйлера о шахматном коне — обойти ходом коня шахматную доску, побывав на каждой клетке по одному разу, и задача о составлении многоклеточных магических квадратов . В подобного рода задачах интересуются обычно определением числа решений, разработкой методов, дающих сразу большие группы решений. Математическое содержание ряда других М. р. и и. — в установлении наименьшего числа операций, необходимых для достижения поставленной цели. К таким развлечениям относятся: задачи типа «переправ», «размещений» или игры, аналогичные игре «ханойская башня», суть которой в подсчёте числа ходов, необходимых для перенесения пластинок со столбика А (см. рис. 3 ) на столбик С, пользуясь столбиком В, если за один ход можно переносить лишь одну пластинку с любого столбика на любой другой, но нельзя класть большую пластинку выше меньшей.
М. р. и и. пользовались вниманием многих крупных учёных [Леонардо Пизанский (13 век), Н. Тарталья (16 век), Дж. Кардано (16 век), Г. Монж (2-я половина 18 — начало 19 века), Л. Эйлер (18 век) и другие]. Сборники М. р. и и. начали появляться с 17 века. Содействуя повышению интереса учащихся к математике, развитию сообразительности, настойчивости и внимания, М. р. и и. применяются также и в педагогическом процессе. В России это нашло отражение уже в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого (1703) и даже в математических рукописях 17 века.
Лит.: Игнатьев Е. И., В царстве смекалки или арифметика для всех, 2 изд., кн. 1—3, М. — Л., 1924 — 25; Кордемский Б. А., Математическая смекалка, 8 изд., М., 1965; Перельман Я. И., Живая математика, 9 изд., М., 1970: его же, Занимательная арифметика, 9 изд., М., 1959; его же, Занимательная алгебра, 12 изд., М., 1970; его же, Занимательная геометрия, 11 изд., М., 1959; Шуберт Г., Математические развлечения и игры, перевод с немецкого, Одесса, 1911; Арене В., Математические игры, перевод с немецкого, Л. — М., 1924; Гарднер М., Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки, перевод с английского, 2 изд., М., 1967; его же, Математические досуги, перевод с английского, М., 1972.
Рис. 1 к ст. Математические развлечения и игры.
Рис. 3 к ст. Математические развлечения и игры.
Рис. 2 к ст. Математические развлечения и игры.
Математический горизонт
Математи'ческий горизо'нт , см. Горизонт .
Математический институт
Математи'ческий институ'т имени В. А. Стеклова Академии наук СССР (МИАН), центральное советское научно-исследовательское учреждение, разрабатывающее вопросы математики; находится в Москве; имеется отделение в Ленинграде. Существует как самостоятельное учреждение с 1934, когда он выделился из состава Физико-математического института АН, организованного В. А. Стекловым в 1921. С момента основания институт был возглавлен И. М. Виноградовым , который является директором и в настоящее время (1974). На базе отделов института организован ряд учреждений АН: институт механики АН СССР (ныне Проблем механики институт АН СССР), Точной механики и вычислительной техники институт АН СССР, Прикладной математики институт АН СССР, Вычислительный центр АН СССР, Математики институт Сибирского отделения АН СССР, Математики и механики институт Уральского научного центра АН СССР.
В институте разрабатываются наиболее важные проблемы теории чисел, алгебры, математической логики, геометрии, топологии, теории функций, дифференциальных уравнений, математической теории оптимального управления, теории вероятностей, математической
статистики и других разделов математики, а также важные проблемы механики и теоретической физики. Научными сотрудниками института выполнен ряд работ, имеющих фундаментальное значение. Авторы многих из них удостоены Ленинских и Государственных премий СССР. Институт издаёт «Труды» (с 1931). Имеется аспирантура. Награжден орденом Ленина (1967).Ю. В. Прохоров.
Математический интуиционизм
Математи'ческий интуициони'зм, философско-математическое течение, отвергающее теоретико-множественную трактовку математики и считающее интуицию единственным источником математики и главным критерием строгости её построений. Восходящая к античной математике интуиционистская традиция в той или иной степени разделялась такими учёными, как К. Ф. Гаусс , Л. Кронекер , А. Пуанкаре , А. Лебег , Э.Борель , Г. Вейль . С развёрнутой критикой классической математики и радикальной программой интуиционистского переустройства математики выступил в начале 20 века Л. Э. Я. Брауэр . Формирование этой программы, которую ныне и принято называть «интуиционизмом» (сам Брауэр использовал термин «неоинтуиционизм»), проходило в острой полемике с математическим формализмом на фоне вызванного антиномиями теории множеств кризиса оснований математики. Брауэр решительным образом отвергал как веру в актуальный характер бесконечных множеств (см. Бесконечность в математике), так и правомерность экстраполяции в область бесконечного выработанных для конечных совокупностей законов традиционной логики. Согласно интуиционистским воззрениям, предметом исследования математики являются умственные построения, рассматриваемые как таковые «безотносительно к таким вопросам о природе конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо от нашего знания о них» (А. Гейтинг, Нидерланды). Математические утверждения — суть некоторая информация о выполненных построениях. Обращение с умственными построениями требует особой логики — так называемой интуиционистской логики, не принимающей, в частности, в сколько-нибудь полном объёме исключённого третьего принципа .
В серии статей начиная с 1918 Брауэр и его последователи осуществили построение основных разделов интуиционистской математики — теории множеств, математического анализа, топологии, геометрии и так далее. В настоящее время (70-е годы 20 века) интуиционистская математика является достаточно глубоко разработанным направлением. Требования интуиционистской программы обоснования математики приводят к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают весьма необычный вид. Это связано с отказом рассматривать актуально заданные бесконечные множества как объект исследования и с требованием эффективности всех осуществляемых построений. Весьма своеобразным является основное орудие М. и. — концепция свободно становящейся последовательности (в другой терминологии — последовательности выбора) и связанная с ней новая трактовка числового континуума как «среды становления» последовательности измельчающихся рациональных интервалов (в противовес традиционной точке зрения, конструирующей континуум из отдельных точек). В своей простейшей форме свободно становящаяся последовательность (ссп) есть функция, перерабатывающая натуральные числа в натуральные и такая, что любое её значение может быть эффективно вычислено. Точное исследование показывает, что следует различать несколько видов ссп в зависимости от степени информации, известной исследователю о ссп. Считая критерием верности построений прежде всего интуицию, и в противовес формализму, Брауэр возражал против попыток формализации интуиционистской математики и, в частности, интуиционистской логики. Но «интуиция» интуиционизма, независимо от философских установок и взглядов на неё Брауэра и Вейля, — это, в основной своей части, наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов (см. Конструктивная математика ), складывающаяся у людей в процессе их социального развития, обучения и воспитания и как таковая вполне допускающая исследование точными методами. Значительные успехи были достигнуты в изучении интуиционистской логики именно после того, как основные ее законы были точно сформулированы в виде исчислений, к которым можно было применять точные методы математической логики. Можно упомянуть, например, известную интерпретацию интуиционистского исчисления предикатов, предложенную А. Н. Колмогоровым , погружение классической формальной арифметики в интуиционистскую (К. Гедель ), доказательство независимости логических связок и невозможность представления интуиционистского исчисления предикатов в виде конечнозначной логики (К. Гедель), теорию моделей для интуиционистской логики и многие другие факты, выясняющие значение и особенности интуиционистское логики по сравнению с классической, которые принципиально не могли бы быть получены без предварительной точной формулировки. Точная формулировка законов интуиционистской логики и интуиционистской арифметики была предложена уже в 30-е годы 20 века Гейтингом. Удовлетворительное построение теории ссп и более высоких разделов интуиционистской математики было завершено лишь к 70-м годам (С. Клини и другие). М. и. находится в стадии дальнейшей интенсивной разработки. Внимание М. и. к эффективности получаемых результатов находится в прекрасном согласии с вычислительной тенденцией в современной математике и привлекает к интуиционистской логике большое число плодотворно работающих математиков. В СССР группа математиков-логиков во главе с А. А. Марковым занимается разработкой конструктивной математики — близкого к М. и. направления (см. Конструктивное направление в математике).
Лит.: Вейль Г., О философии математики. Сборник работ, перевод с немецкого, М. — Л., 1934; Гейтинг А., Интуиционизм, перевод с английского, М., 1965; Френкель А. А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, перевод с английского, М., 1966.
А. Г. Драгалин Б. А. Кушнер.
Математический маятник
Математи'ческий ма'ятник, материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль дуги окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически М. м. можно считать груз, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по сравнению с длиной нити, масса нити очень мала по сравнению с массой груза. См. Маятник .