Большая Советская Энциклопедия (МН)

Многоэтажные здания

Многоэта'жные зда'ния. Понятие «М. з.» изменяется исторически в зависимости от этажности городской застройки, обусловленной социальными, экономическими и градостроительными требованиями. Жилые и общественные М. з. начали широко распространяться в античных городах вследствие потребности в ускоренном строительстве дешёвых жилищ для населения с низким доходом (например, инсулы в Древнем Риме), а позднее и в средневековых городах ввиду ограниченности их территорий, защищенной городскими стенами (дома зажиточных горожан Европы с жильём, мастерскими и лавками в 1—2-х этажах и амбарами в остальных). В эпоху капитализма бурный рост городов и значительное удорожание городских земельных участков вызвали резкое расширение строительства М. з., а совершенствование их инженерного оборудования (в первую очередь появление лифта) позволило значительно поднять их высоту (16-этажный Монаднок-билдинг в Чикаго, 1891, архитекторы Д. Х. Бёрнем и Дж. У. Рут). В конце 19 — начале 20 вв. в США появились М. з. в несколько десятков этажей (т. н. небоскрёбы), используемые для контор, банков, гостиниц, жилья. Построенный в 1930—31 в Нью-Йорке небоскрёб Эмпайр стейт билдинг (архитекторская фирма «Шрив, Лэмб и Хармон») насчитывает 102 этажа (высотой без телевизионной вышки, выстроенной в 1951, — около 380 м ). Со 2-й половины 1940-х гг., в связи с интенсивной урбанизацией , а иногда и недостатком свободных территорий, М. з. получили широкое распространение во многих странах мира. Наряду с основным массовым строительством М. з. в 9—17 этажей возводятся т. н. высотные здания, часто многофункционального назначения (например, 100-этажный Джон Хэнкок билдинг в Чикаго, 1971, архитекторы Л. Скидмор, Н. А. Оуингс, Дж. О. Мерилл, где размещаются магазины, банк, гараж, конторы, жильё и др.). В условиях капиталистического градостроительства стихийная концентрация М. з. на ограниченной территории и скопление значительных масс людей и транспортных средств приводят к разрушению функциональных, физико-гигиенических и эстетических качеств городкой среды (транспортные пробки, оглушающе шумные, узкие улицы, лишённые свежего воздуха, ощущение хаоса, которое создаёт вид тесной застройки разновысотными, нередко невыразительными по архитектуре М. з.).

В СССР и других социалистических странах М. з. размещаются обычно в соответствии с градостроительными требованиями, согласно генеральным планам городов (в частности, в целях экономии территорий в центре города, особо ценных вследствие их насыщенности дорогостоящими коммуникациями, инженерным оборудованием и пр.). В конце 1940-х — начале 1950-х гг. в Москве по единому градостроительному замыслу было построено 7 высотных зданий в 26—32 этажа (архитекторы В. Г. Гельфрейх, А. Н. Душкин, Б. С. Мезенцев, М. А. Минкус, А. Г. Мордвинов, Л. М. Поляков, Л. В. Руднев, Д. Н. Чечулин и др.). Сооружение этих зданий ускорило технический прогресс в области строительства. Поставленные в ключевых местах столицы и увенчанные шпилями, они придали ей новый силуэт и масштабность. Для этих зданий характерны сложная композиция из разновысотных объёмов, обилие декора на фасадах и в интерьерах, низкий процент полезной площади. Строительство М. з. индустриальными методами резко увеличилось в СССР во 2-й половине 1960-х гг. (в 1973 — 20 % от общего строительства жилых зданий). Наряду с основной массой 9—17-этажных зданий воздвигаются и здания в 25 этажей и выше. Иногда М. з. образуют целые комплексы (например, проспект Калинина в Москве, 1964—69, архитекторы М. В. Посохин, А. А. Мндоянц и др.; см. илл. ). Единой классификации М. з. не существует. Критерием отнесения зданий к категории М. з. принято считать появление (в результате большой высоты) качественных изменений в их планировке, конструкции и техническом оснащении. В М. з. требуется обеспечение пожарной безопасности (повышенная огнестойкость конструкций, устройство незадымляемых лестниц, систем пожарного водопровода, дымоудаления и др.), конструктивной устойчивости под действием ветровых, в том числе динамических, нагрузок, усложняются лифтовое хозяйство и техническое оборудование. Конструктивная устойчивость жилых М. з. достигается главным образом за счёт поперечных несущих стен или связевого каркаса (в СССР преимущественно сборного железобетонного; см. Железобетонные конструкции и изделия , Крупнопанельные конструкции ), в общественных зданиях — в сочетании с т. н. ядром жёсткости (железобетонной коробкой, ограждающей собранные вместе лифтовые шахты, технические коммуникации). В высотных зданиях за рубежом распространены ядрооболочковые конструкции, в которых «оболочка» — несущие фасадные ограждения решётчатого типа из стальных или предварительно напряжённых железобетонных элементов — соединяется перекрытиями с расположенным в центре «ядром», образуя единую систему большой жёсткости (две 110-этажные башни Центра международной торговли в Нью-Йорке, архитекторы М. Ямасаки и др., 1971—73). Из-за большого (порой отрицательного) влияния на традиционный облик старых городов огромных объёмов, повторения многих тысяч одинаковых фасадных элементов создать выразительное архитектурное решение М. з. очень сложно. Стремясь преодолеть сверхчеловеческий масштаб и однообразие, архитекторы вводят в композицию М. з. сопоставление разновысотных объёмов, иногда криволинейные очертания, ищут выразительные пропорции и силуэт, прибегают к ритмической организации фасадных элементов (например, группировка балконов и их ограждений или окон в композиции орнаментального характера), к эффектной отделке фасадов нержавеющей сталью, алюминием, бронзой, стеклом (например, 38-этажное здание Сигрем-билдинг в Нью-Йорке, 1958, архитектор Л. Мис ван дер Роэ).

Лит.: Дыховичный Ю. А., Конструирование и расчет жилых и общественных зданий повышенной этажности, М., 1970; 1 Международный симпозиум. Многоэтажные здания. Сборник докладов. Москва — СССР. Октябрь 1971, М., 1972 (на рус. и англ. яз.); Rafeiner F., Hochh"auser. Planung, Kosten, Bauausf"uhrung, В., 1968.

А. И. Опочинская.

М. В. Посохин, А. А. Мидоянц и др. Проспект Калинина в Москве. 1964—69.

Множеств теория

Мно'жеств тео'рия, учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т. е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предмет х есть элемент множества М , записывают так: х ^I М (читают: х принадлежит множеству М ).

Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В , то множество А называется подмножеством, или частью, множества В . Это записывают так: A 'I В или В ^E А . Т. о., подмножеством данного множества В является и само множество В . Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В , отличное от всего множества В , называют правильной частью последнего.

Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 70-х гг. 19 в. Г. Кантор , основавший М. т. как математическую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В ; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А , то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1—1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1—1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1—1)-соответствие.

Ещё до создания М. т. Б. Больцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1—1)-соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1—1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1—1)-соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числу n поставить в соответствие натуральное число 2n , то получим (1—1)-соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М , тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р . Дедекинд ).

Для двух бесконечных множеств А и В возможны лишь следующие три случая: либо А есть правильная часть, равномощная В , но в В нет правильной части, равномощной А ; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная А , а в А нет правильной части, равномощной В ; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В , и в В есть правильная часть, равномощная А . Доказывается, что в третьем случае множества А и B равномощны (теорема Кантора — Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества А больше мощности множества В , во втором — что мощность множества В больше мощности множества А . A priori возможный четвёртый случай — в А нет правильной части, равномощной В , а в В нет правильной части, равномощной А , — в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств).

Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномощных бесконечных множеств. Например, множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем множество М . Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счётно, тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действительных чисел, не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще n– мерного пространства при любом n . Кантор высказал гипотезу (т. н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел; по поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см. Континуума проблема .

Отображения множеств. В М. т. аналитическое понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества Х и Y , пусть каждому элементу х ^I Х поставлен в соответствие некоторый определённый элемент у = f (x ) множества Y ; тогда говорят, что имеется отображение множества Х в множество Y , или что имеется функция, аргумент х которой пробегает множество X , а значения у принадлежат множеству Y ; при этом для каждого данного х ^I Х элемент у = f (x ) множества Y называется образом элемента х ^I Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргумента х .

Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, например на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества Х всех точек квадрата на множество Y всех точек его основания; точке с координатами (х; у ) соответствует точка (х ; 0).

2) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числа x ^I X положить у = f (x ) = x³ , то тем самым будет установлено отображение множества Х в себя.