Большая Советская Энциклопедия (НЕ)

Множество всех непрерывных преобразований составляет группу непрерывных преобразований. Во многих случаях (но не всегда) группа непрерывных преобразований сама естественным образом оказывается непрерывной средой, т. е. в ней определяется понятие предельного перехода: можно говорить о том, что некоторая последовательность преобразований сходится к преобразованию. При этом оказывается, что из

следует

Такая группа называется Н. г. преобразований. Пусть М есть множество точек плоскости. Преобразование f называется движением плоскости, если для каждой пары точек х и у из М расстояние между х и у равно расстоянию между f (x ) и f (y ). Преобразование плоскости называется проективным, если точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой. Частным случаем проективного преобразования является аффинное, при котором параллельные прямые переходят в параллельные. Здесь мы имеем три простейших геометрических примера Н. г. преобразований: группу движений, группу проективных преобразований и группу аффинных преобразований. Если рассматривать те свойства геометрических фигур на плоскости, которые не меняются при движениях плоскости, то мы получим обычную элементарную геометрию. Аналогично возникают геометрии проективная и аффинная, Ф. Клейном была выдвинута общая точка зрения (см. Эрлангенская программа ), согласно которой геометрия есть наука, изучающая те свойства фигур, которые не меняются при заданной группе непрерывных преобразований. Отсюда — роль теории Н. г. в геометрии. Примем за множество М всевозможные упорядоченные системы по n чисел x₁ , x₂ , ..., x_n , которые будем трактовать как компоненты вектора х. Рассмотрим т. н. линейное преобразование f , переводящее вектор х в вектор у с компонентами y₁ , y₂ , ..., y_n , причём преобразование задаётся формулой

Множество всех линейных преобразований составляет Н. г. преобразований. Можно рассматривать не все линейные преобразования, а, например, такие, которые не меняют длины векторов, т. е. для которых выполнено условие

x₁² + x₂² +... + x_n² = y₁² + y₂² +... + y_n² .

Такие преобразования составляют группу линейных ортогональных преобразований. Группы линейных преобразований играют весьма важную роль, в частности находят своё приложение в квантовой механике.

Современное развитие теории групп показало, что при изучении группы целесообразно бывает отвлечься от того факта, что элементы её являются преобразованиями, а следует трактовать группу просто как множество элементов, в котором установлена операция умножения, т. е. каждой паре элементов группы поставлен в соответствие элемент, называемый произведением исходных: k = fg, причём в качестве аксиом выдвигаются условия (2), (3), (4). Элемент e , раньше бывший тождественным преобразованием, теперь называется единицей группы. Вместо обратного преобразования появляется обратный элемент. Существование единицы и обратного элемента теперь являются аксиомами. Если для любых двух элементов f и g верно fg = gf, то группа называется коммутативной. Для того чтобы получить Н. г., следует предположить, что элементы её составляют топологическое пространство и что операция умножения непрерывна, т. е. выполнено условие (6), которое теперь выдвигается как аксиома. Так возникло в математике новое, абстрактное понятие непрерывной, или, что то же самое, топологической группы. Логически оно слагается из операции перемножения и операции предельного перехода. Так как обе эти операции весьма часто встречаются в математике, то понятие Н. г. принадлежит к числу важных и находит многочисленные приложения. Важнейшим типом Н. г. являются группы Ли (С. Ли — основоположник теории Н. г.). Если в окрестности единицы группы можно ввести координаты, т. е. каждый элемент f задать числами f₁ , f₂ ,..., f_r — его координатами, то закон умножения k = fg можно записать для элементов, близких к единице, в координатной форме:

k_i = j_i (f₁ , f₂ ,..., f_r , g₁ , g₂ ,..., g_r ), (7)

i = 1, 2,..., r,

где j_i — непрерывная функция всех переменных. Если ещё предположить, что функции j, трижды непрерывно дифференцируемы, то мы придём к понятию группы Ли. Если считать, что координаты единицы все равны нулю, т. е. если принять единицу за начало координат, то, разлагая в ряд Тейлора правую часть соотношения (7), получим

Числа

называются структурными константами группы Ли, и к изучению их полностью сводится изучение группы Ли.

Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973 (имеется библ.).

Л. С. Понтрягин.

Непрерывная дробь

Непреры'вная дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида

где a _{— любое целое число, a1 , a2 ,..., an ,... — натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число a, можно прийти, записывая это число в виде}

где a _{— целое число и 0 < 1/a1 < 1, затем, записывая в таком же виде a1 и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (1) часто символически обозначают так:}

[а _{; a1 , a2,..., an ,... ] (бесконечная Н. д.) (2)}

или

[а _{; а1 , a2,..., an ] (конечная Н. д.). (3)}

Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы a_n &sup1; 1. Н. д. [а _{; a1 , a2 ,..., ak ] (k lb n ), записанную в виде несократимой дроби pk /qk , называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:}

p_k+1 = a_k+1p_k + p_{k– 1}, q_k+1 = a_k+1q_k + q_{k– 1},

которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение

p_k q_{k– 1} — q_k p_k-1 = ± 1.

Для каждой бесконечной Н. д. существует предел

называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением a указанным выше образом, например

(е — 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];

квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.

Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа a, то есть, что для любой другой дроби m /n, знаменатель которой не более g_k имеет место неравенство |n a — m | > |g_k a — p_k l; при этом |q_k . — p_k | < 1/q_k+1. Нечётные подходящие дроби больше a, а чётные — меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.