Большая Советская Энциклопедия (ОП)

Операторов теория

Опера'торов тео'рия , часть функционального анализа , посвященная изучению свойств операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математических понятий.

Примеры:

1) Отнеся каждому вектору (x₁ , x₂ , x₃ ) вектор (x’₁ , x’’₂ , x’₃ ) так, что x’_i= a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + a_i3 x₃ (i = 1, 2, 3; a_i1 , a_i2 , a_i3 — фиксированные числа), получим некоторый оператор.

2) Операция (оператор) дифференцирования D [f (t )] = f’ (t ) относит каждой дифференцируемой функции f (t ) её производную f’ (t ).

3) Операция (оператор) определённого интегрирования I =

относит каждой интегрируемой функции действительное число.

4) Отнеся каждой функции f (t ) её произведение j(t ) f (t ) на фиксированную функцию j(t ), снова получаем оператор.

Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, Штурма — Лиувилля задача ) и др. разделов классического анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление ). О. т. представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории).

Операторы в линейных пространствах . Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см. Линейное пространство ), в частности в функциональных пространствах, т. е. отображения у = А (х ) линейного пространства R или его части в некоторое линейное пространство R' (возможно, совпадающее с R ). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции ,линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, если A (ax+ by ) = aА (х ) + bА (у ) для любых элементов х , у пространства R и любых чисел a, b. Если пространства R и R' нормированы, а отношение

нормы А (х ) к норме х ограничено, то линейный оператор A называется ограниченным, а верхнюю грань отношения

 его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, что А (Х_п ) ® А (х ), когда Х_п ® х . Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. также Линейный оператор .

Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

5) Пусть k (s , t ) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a lb s lb b , а lb t lb b . Формула

определяет линейный интегральный оператор, называется оператором Фредгольма.

6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функции f (t ) поставим в соответствие функцию

называется Фурье преобразованием исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.

7) Левую часть линейного дифференциального уравнения

можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции x (t ) функцию j(t ). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.

Примеры нелинейных операторов:

8) Пусть A [f (t )] = f ² (t ); определённый т. о. оператор является нелинейным.

9) Пусть

(F — некоторая ограниченная непрерывная функция). Соответствие g ® h , определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.

Действия над операторами . Пусть дан оператор

у = А (х ),

причём никакие два разных элемента х и х' не переходят в один и тот же элемент у . Тогда каждому образу у отвечает его единств. прообраз х . Это соответствие называется обратным оператором и обозначают

х = А^–1 (у ).

Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А (х ) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

Если A₁ и А₂ — два оператора, отображающих R в R' , то их суммой А = A₁ + A₂ называется оператор, определяемый равенством А (х ) = A₁ (x ) + A₂ (x ). Если оператор A₁ переводит R в R' , а A₂ переводит R' в R” , то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающий R в R” ; его называют произведением A₂A₁ операторов A₁ и A₂ . Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора А есть n– я степень Aⁿ этого оператора. Например, n– я степень оператора дифференцирования есть оператор n– kpaтного дифференцирования Dⁿ [f (t)] = f ⁽ⁿ⁾ (t). Произведение lА оператора А на число l определяется формулой

(lА )(х ) = lА (х ).

Оператор Е , переводящий всякий элемент х в самого себя, называется единичным. Нулевым называется оператор О , переводящий каждый элемент в нуль. Очевидно, что при любом А справедливы равенства: AE = EA = А и А+О = О + А = А , далее, если, А^–1 существует, то А^–1А = AA^–1 = Е (следует заметить, что для двух произвольных операторов А и В произведения AB и BA , вообще говоря, не равны между собой).

С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путём предельного перехода, понимаемого соответствующим образом, — и более сложные функции от оператора. Например, если D — оператор дифференцирования, то e^D означает оператор, определяемый формулой

,

имеющий смысл для тех f (t ), для которых ряд справа сходится. Для аналитических функций сумма этого ряда равна f (t + 1), т. е. e^D — оператор сдвига, переводящий f (t ) в f (t + 1).