Большая Советская Энциклопедия (ОР)

Ортогональные многочлены

Ортогона'льные многочле'ны, специальные системы многочленов {р_п (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через

, а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,— через

. В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

Многочлен р_п (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

где g_n=n [(a₁ + (n + 1)b₂].

Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).

1) Якоби многочлены {Р_п ^(l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)^l (1 + x)^m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены

 (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —¹/₂, т. е.

 — Чебышева многочлены 1-го рода T_n (x); l = m = ¹/₂, т. е.

 — Чебышева многочлены 2-го рода U_n (x); l = m = 0, т. е. r(х) o 1 — Лежандра многочленыР_п (х).

2) Лагерра многочленыL_n (x) — при а = 0, b = + yen и r(х) = е^—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра

 — при

.

3) Эрмита многочленыН_n (х) — при а = —yen, b = + yen и

 (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).

О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р_n (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена р_n (х) лежит один нуль многочлена p_n+1(х). Многочлен р_n (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига

где A_n — постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м.

,

,

связаны рекуррентным соотношением:

,

где а_п+2 и l_n+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

,

то

;

Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла

 в непрерывную дробь с элементами вида х — a_n и числителями l_n—1. Знаменатели j_n (х)/р_n (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса r(х).

Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию.

Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.

В. И. Битюцков.

Ортогональные траектории

Ортогона'льные траекто'рии, см. в ст. Изогональные траектории.

Ортографическая проекция

Ортографи'ческая прое'кция (от греч. orth'os — прямой и gr'apho — пишу), одна из картографических проекций. О. п. относится к перспективным проекциям. Из-за значительных искажений в картографии не применяется.

Ортодонтия

Ортодо'нти'я (от греч. orth'os — прямой, правильный и od'us, род. падеж od'ontos — зуб), раздел стоматологии, занимающийся изучением, лечением и предупреждением аномалий развития зубов и челюстно-лицевого скелета, которые зависят как от наследственных факторов, так и от условий роста и развития детского организма в зародышевом периоде и после рождения. Частые причины возникновения аномалий зубочелюстной системы — нарушения обмена веществ, детские болезни, отрицательно влияющие на процессы формирования скелета, и др. Способствующими факторами могут быть вредные привычки (сосание пальцев, злоупотребление сосками, затруднённое носовое дыхание и др.). Деформации зубочелюстной системы ведут к нарушению функции органов пищеварения, дыхания и речи. Цель ортодонтического лечения — создание лучшей в косметическом и функциональном отношении формы зубочелюстной системы и нормализация развития детского организма. Лечение комплексное: применение специальные аппаратуры в сочетании с фармакологическим и физиотерапевтическим, иногда хирургическим и последующим логопедическим лечением. Плановая санация полости рта у детей дошкольного и школьного возраста.

Лит.: Калвелис Д. А., Ортодонтия, Л., 1964; Курляндский В. Ю., Ортопедическая стоматология. Атлас, т. 2. Ортодонтия, травматология, челюстное и лицевое протезирование, М., 1970.

А. А. Кузнецова.

Ортодромия

Ортодро'мия (от греч. orth'os — прямой и dr'omos — бег, путь), кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения. В кораблевождении и самолётовождении, где Земля принимается за шар, О. представляет собой дугу большого круга. В противоположность локсодромии, О. пересекает меридианы под разными углами.

Ортоклаз

Ортокла'з (от греч. orth'os — прямой и kl'asis — ломка, раскалывание), породообразующий минерал из группы полевых шпатов, Химический состав K [AlSi₃O₈]. В качестве примеси содержит Na (до 8% Na₂O), реже Ва и в небольших количествах Fe, Са, Rb, Cs и пр. Кристаллизуется в моноклинной системе. Кристаллы призматической формы. Характерны разнообразные двойники (см. Двойникование). Спайность совершенна, под углом 90° (отсюда и название), чем отличается от микроклина. Цвет светло-розовый, буровато-жёлтый, иногда красный; блеск стеклянный. Твердость по минералогической шкале 6—6,5; плотность 2550—2580 кг/м³. О. — один из важнейших породообразующих минералов магматических горных пород; скопления крупных кристаллов О. характерны для пегматитовых жил. Часто образуется в процессе регионального и контактного метаморфизма. Используется в качестве сырья в стекольной и керамической промышленности.