Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Лит. см. при ст. Звёздная величина .

А. С. Шаров.

Показательная функция

Показа'тельная фу'нкция , экспоненциальная функция, важная элементарная функция

f (z ) = e^z ,

обозначается иногда expz ; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением

;

Очевидно, что e = 1; при n = 1 значение П. ф. равно е — основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами:

 и

при любых значениях z₁ и z₂, кроме того, на действительной оси (рис. ) П. ф. e^x > 0 и при n ® yen возрастает быстрее любой степени х, а при х ®– yen убывает быстрее любой степени 1/x:

,

,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является логарифмическая функция : если w = e^z , то z = ln w.

Рассматривается также П. ф. a^z при основаниях а > , отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2^x , (¹ /₂ ) ^x и т.д.]. П. ф. a^z связана с П. ф. e^z (основной) соотношением

a^z = e^zlna .

П. ф. e^x является целой трансцендентной функцией . Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

, (1)

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.

Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

e^z = e^x+iy = e^x (cosy + i siny ),   (2)

связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями . Из неё вытекают соотношения:

,

.

Функции

 ch y ,

 = sh y

называются гиперболическими функциями , обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z ) имеет период 2pi, то есть e^z+2pi = e^z или e^2pi = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (e^z )' = e^z .

Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.

Рис. к ст. Показательная функция.

Показательное распределение

Показа'тельное распределе'ние , распределение вероятностей на действительной прямой с плотностью вероятностей р (х ), равной при х &sup3; 0 показательной функции le^{– lx} , l > 0 [отсюда название П. р.] и при х < 0 — нулю. Вероятность того, что случайная величина X , имеющая П. р., примет значения, превосходящие некоторое произвольное число х, будет при этом равна e^{– lx} . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны соответственно 1/l и 1/l² . П. р. является единственным непрерывным распределением вероятностей, обладающим тем свойством, что для любых значений x₁ и x₂ выполняется равенство

P (X > x₁ +x₂ ) = P (X > x₁ ) P (X > x₂ )

(т. н. свойство «отсутствия последействия»). Указанным характеристическим свойством в значительной мере объясняется, например, та роль, которую П. р. играет в задачах массового обслуживания теории , где предположение о П. р. времени обслуживания является естественным. П. р. тесно связано с понятием пуассоновского процесса ; промежутки между последовательными событиями в таком процессе суть независимые случайные величины, имеющие П. р.; при этом l равно среднему числу событий в единицу времени.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.

А. В. Прохоров.

Покаяние

Покая'ние церковное, исповедь, христианское таинство (магически-культовый обряд). См. в ст. Таинства .

Поккельса эффект

По'ккельса эффе'кт , линейный электрооптический эффект, изменение преломления показателя света в кристаллах, помещенных в электрическое поле, пропорциональное напряжённости электрического поля. П. э. наблюдается только у пьезоэлектриков (см. Пьезоэлектричество , Симметрия кристаллов ). Был обнаружен в 1894 немецким физиком Ф. Поккельсом (F. С. Pockels), после чего в течение длительного времени исследовался мало и находил ограниченное применение. Главная причина — высокие электрические напряжения (десятки и сотни Кв ) для получения заметного эффекта.

Появление лазеров стимулировало исследования П. э. На основе П. э. разработан ряд устройств для электрического управления когерентным оптическим излучением. Почти все созданные модуляторы света (см. Модуляция света ) основаны на П. э. Важное свойство П. э. — малая инерционность, позволяющая осуществлять модуляцию света до частот ~10¹³гц. Кроме того, из-за линейной зависимости между показателем преломления и напряжённостью электрического поля нелинейные искажения при модуляции света относительно невелики. Малая инерционность позволяет использовать П. э. для модуляции добротности лазеров, с помощью которой получают гигантские по мощности световые импульсы малой длительности. П. э. находит применение также в системах углового отклонения светового пучка и в устройствах создания двумерного оптического изображения.

Лит.: Сонин А. С., Василевская А. С., Электрооптические кристаллы, М., 1971; Мустель Е. P., Парыгин В. Н., Методы модуляции и сканирования света, М., 1970.

В. Н. Парыгин.

Поковка

Поко'вка , заготовка или готовое изделие, получаемое ковкой или горячей объёмной штамповкой в кузнечно-штамповочном производстве.