Большая Советская Энциклопедия (СТ)

В комплексной области С. ф. z^a определяется для всех z ¹ 0 формулой:

, (*)

где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то С. ф. z^a однозначна:

.

Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. z^a принимает q различных значений:

где e_k =

 — корни степени q из единицы:

 и k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то С. ф. z^a — бесконечнозначна: множитель e^a2kpi принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. z^a определяется той же формулой (*). Например,

так что, в частности,

, где k = 0, ± 1, ± 2,....

Под главным значением (z^a ) С. ф. понимается её значение при k = 0, если —p< argz lb p (или 0 lb argz < 2p). Так, (z^a )= |z^a |e^{ia arg z} , (i ) _{=e ^{– p/2} и т.д.}

Рис. к ст. Степенная функция.

Рис. к ст. Степенная функция.

Степенной вычет

Степенно'й вы'чет, или вычет степени n по модулю m (n — целое число, большее единицы, m — целое число). Такое число а, для которого сравнение xⁿ — а (modm ) разрешимо. В частности, при n = 2 С. в. называется квадратичным вычетом , при n = 3 — кубическим, при n = 4 — биквадратичным.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

Степенной ряд

Степенно'й ряд,ряд вида a _{+ a1z + a2z² +... + an zⁿ +...,}

где коэффициенты a _{, a1 , a2 ,..., an ,... — комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z . Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z : |z | < R } с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R — радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример:}

) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = yen; пример:

). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара

.

Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z | = R ) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры:

, R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности

;

, R = 1,

ряд абсолютно сходится во всех точках окружности

. В любой внешней точке круга сходимости (lz l > R ) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р.

 является аналитической функцией ; производные любого порядка функции f (z ) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.

А. А. Гончар.

Степень

Сте'пень, в первоначальном понимании (целая и положительная С.) есть произведение нескольких равных сомножителей. Обозначение:

, где а — основание, n — показатель степени, aⁿ — степень. С. a² называется квадратом, a³ — кубом (a² — площадь квадрата, a³ — объём куба со стороной а ). Основные действия над С. даются формулами: aⁿ a^m = a^n+m ; aⁿ : a^m = a^n-m ; (aⁿ ) ^m = a^nm . Дальнейшие обобщения С.: нулевая a = 1 (при a &sup1; 0); отрицательная a^{– n} = 1/aⁿ ;

дробная

 (см. Двучленное уравнение , Извлечение корня ) и С. с иррациональным показателем

, где r_п — произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к a.

Все указанные выше правила действий справедливы и для обобщённых С. В теории аналитических функций рассматривают также С. с мнимыми основанием и показателем.

Степень диссоциации

Сте'пень диссоциа'ции, отношение числа молекул, распавшихся при диссоциации , к их общему числу.

Степень окисления

Сте'пень окисле'ния, то же, что окислительное число .

Степень свободы

Сте'пень свобо'ды, одна из характеристик движения механической системы. Подробнее см. в ст. Степеней свободы число .

Степень сжатия

Сте'пень сжа'тия, отношение объёма рабочего тела в начале сжатия к объёму его в конце сжатия в цилиндре двигателя внутреннего сгорания . С увеличением С. с. рабочее тело (горючая смесь в карбюраторных двигателях, воздух в дизелях) в конце хода сжатия занимает меньший объём, давление и температура его повышаются и процесс сгорания протекает быстрее и с меньшими потерями тепла. Повышение С. с. увеличивает мощность и улучшает топливную экономичность двигателя, однако оно ограничивается стойкостью топлива по отношению к детонации . С. с. карбюраторных двигателей 6,5—9,5, дизелей 16—21.

Степи

Сте'пи, тип растительности, представленный сообществами из засухо- и морозоустоичивых многолетних травянистых растений с господством дерновинных злаков, реже осок и луков. С. связаны преимущественно с чернозёмами и каштановыми почвами и засушливым климатом, с максимумом осадков в летние месяцы. Занимают наибольшие площади во внутриконтинентальных частях Северного полушария в пределах умеренного пояса, где зоны степей вытянуты с З. на В. в Европе и Азии и с С. на Ю. в Северной Америке. С. имеются также в Южной Америке. На значительной территории распаханы (например, в Европе сохранились главным образом в заповедниках).