Большая Советская Энциклопедия

Если предположить, что амплитуда рассеяния как функция переменных s, t, u имеет только те особые точки, которые возникают из обобщённого условия унитарности S– мaтрицы, то можно прийти к заключению, что единая аналитическая функция f (s, u, t) в разных областях изменения переменных описывает три различных процесса:

а + b ® с + d, (I)

 + b ®

 + d, (II)

 + b ®

 + с (III)

(значком «тильда» над символом частицы помечены античастицы), а также обратные им реакции. Хотя это предположение и не обосновано строго на основе принципов квантовой теории поля (как это сделано, например, для связи каналов рассеяния p⁺ + р ® p⁺ + p и p^– + p ® p^– + p при фиксированных переданных импульсах) и справедливость его подтверждается только на основе рассмотрения низших порядков теории возмущения, оно тем не менее часто принимается в виде постулата современной теории.

Предположение о том, что единая аналитическая функция в разных областях изменения своих переменных соответствует амплитудам физических процессов (I), (II), (III), позволяет написать для неё дисперсионные соотношения по двум комплексным переменным (s, t), (s, u), (t, u) — т. н. двойное спектральное представление Манделстама, с помощью которого может быть осуществлено аналитическое продолжение амплитуды в области изменения переменных s, t, и, отвечающих «нефизическим» областям реакций (I), (II), (III). Тем самым это представление становится основой динамического описания С. в., не использующего теорию возмущений. Действительно, как уже отмечалось, обмену виртуальными частицами (посредством которого и осуществляется С. в.) отвечают особенности амплитуды, лежащие в «нефизических» областях. Т. о., «нефизическую» область одного канала реакции может существенно определять поведение амплитуды в «физической» области др. канала.

Строгие результаты квантовой теории поля для сильных взаимодействий

На основе квантовой теории поля были строго получены некоторые результаты, вытекающие из аналитических свойств амплитуды рассеяния. Аналитичность амплитуды по энергии позволяет записать дисперсионные соотношения, с помощью которых действительная часть амплитуды рассеяния под нулевым углом выражается через интеграл от мнимой части амплитуды. Поскольку, согласно оптической теореме, мнимая часть амплитуды упругого рассеяния вперёд в «физической» области (на правом разрезе комплексной плоскости s) связана с полным сечением рассеяния частицы, а на левом разрезе (благодаря перекрёстной симметрии) выражается через полное сечение рассеяния античастицы, действительная часть амплитуды может быть представлена в виде дисперсионного интеграла, в который входит разность сечений для частиц и античастиц на одной и той же мишени. Помимо этого, в дисперсионное соотношение входит вклад от полюсов, лежащих в «нефизической» области (например, в случае p N-рассеяния — от полюса, отвечающего виртуальному превращению p + N ® N ® p + N). Одно из важных следствий дисперсионных соотношений — возможность определить из экспериментальных данных константу взаимодействия нуклонов с пионами и проверить её универсальность в различных реакциях. Другое следствие относится к асимптотическому поведению полных сечений рассеяния частиц и античастиц при высоких энергиях. Исходя из предположения о том, что упругое рассеяние адронов высокой энергии носит характер дифракционные рассеяния с постоянным радиусом (см. выше), а полные сечения стремятся с ростом энергии к постоянным пределам, И. Я. Померанчук на основе дисперсионных соотношений доказал теорему о равенстве этих пределов для полных сечений рассеяния частиц и античастиц на одной и той же мишени [например, s (p⁺ + р) ® (p^– + р)].

На основе принципов квантовой теории поля было показано, что амплитуда рассеяния является аналитической функцией переменного z = cosJ внутри эллипса, большая полуось которого выходит в «нефизическую» область z > 1 и определяется наименьшей массой частиц, существующих в t– kaнале реакции (т. е. частиц, переносящих С. в.). Из аналитичности амплитуды в этом эллипсе вытекает, что парциальные амплитуды рассеяния, отвечающие столкновению частиц с относительным орбитальным моментом l, экспоненциально убывают при больших 1, начиная с величины, пропорциональной

, где m — наименьшая масса частиц, переносящих взаимодействие. Этот результат соответствует качественным соображениям, согласно которым радиус взаимодействия, обусловленного обменом какими-либо частицами, обратно пропорционален массе частиц, переносящих взаимодействие. Действительно, если взаимодействие имеет радиус R , то максимальный орбитальный момент l при столкновении частиц с импульсом р, при котором ещё происходит взаимодействие, определяется соотношением |p|R »

, т. е. R ~ lns/m. Т. о., аналитические свойства амплитуды рассеяния как функции переданного импульса позволяют установить максимальный радиус взаимодействия, который, однако, может расти с ростом энергии пропорционально lns . Отсюда следует, что полное сечение взаимодействия не может увеличиваться с ростом энергии быстрее, чем ln²s, а дифракционных конус в упругом рассеянии — сужаться быстрее, чем ln²s. Из аналитических свойств амплитуды рассеяния и короткодействующего характера С. в. вытекает ряд теорем, например равенство дифференциальный сечений рассеяния частиц и античастиц на одной мишени, обобщение теоремы Померанчука на случай растущих с увеличением энергии сечений и радиусов взаимодействия и др.

На основе дисперсионных соотношений и условия унитарности развита теория, описывающая в области энергий приблизительно до 1 Гэв

процессы рождения p-мезонов g-квантами (т. н. фоторождение), процессы рассеяния p-мезонов на нуклонах и p-мезонах и др.

Реджевские траектории — основа динамической систематики частиц Амплитуда рассеяния частицы выражается через парциальные амплитуды f_l (E), отвечающие различным орбитальным моментам l столкновения. По самому квантомеханическому смыслу величины l могут принимать лишь целые положительные значения. Однако для случая рассеяния частицы на каком-либо сферически симметричном потенциале парциальные амплитуды можно формально продолжить в область комплексных значений l. При этом можно показать, что парциальная амплитуда является аналитической функцией l в правой полуплоскости комплексного переменного l (точнее, при Rel > - ¹/₂). Метод аналитического продолжения по l ввёл итальянский физик Т. Редже. Он показал, что для короткодействующих потенциалов (в том числе для потенциала Юкавы

 и суперпозиции таких потенциалов) особенностями парциальной амплитуды правее линии Rel = - ¹/₂ могут являться только полюсы l_i = l_i (E), положение которых в комплексной плоскости зависит от энергии. Эти полюсы, называются полюсами Редже, имеют простой физический смысл. Стабильные связанные состояния и резонансы непосредственно получаются из полюсов Редже. Если при некоторых значениях энергии Е = E_n ниже порога (т. е. при Е < 0 для рассеяния частицы на внешнем поле, обращающемся в 0 на yen, или при Е < ma + m_b для процессов столкновения частиц «а» и «b») величина l_i (E_n) равна целому положительному числу l, то это означает, что система имеет стабильные связанные состояния с орбитальным моментом l. Если при значениях энергии Е = E_r (выше порога) Re l_i (Er) равна целому положительному числу, то это означает, что система имеет резонансы. Функция l_i (E) называется реджевской траекторией. Заметим, что выше порога реакции она является комплексной. Учёт обменного взаимодействия приводит к тому, что для связанных состояний и резонансов с чётными орбитальными моментами будет одна траектория Редже, а для нечётных — другая.

Приведём пример траектории Редже для рассеяния электрона в кулоновском поле ядра водородоподобного атома. Уровни энергии в этом случае определяются формулой Бора:

(n — главное квантовое число, Z — атомный номер; см. Атом), что даёт зависимость:

,

в которой целым положительным значениям l отвечают определённые уровни энергии системы E_n.

Для значений Е > 0 (выше порога) l (E) равна

(где k — волновое число, связанное с энергией соотношением

. Т. к. Rel (E) для Е > 0 не равна целому положительному числу, это означает, что система не имеет резонансных состояний.

Траектории Редже явились основой систематики ядерно-стабильных частиц и резонансов. В отличие от систематики, основанной на симметрии частиц, эта систематика опирается на динамику взаимодействия. При помощи реджевской траектории a. (Е) можно систематизировать частицы с одинаковыми внутренними характеристиками и отличающимися на чётное число значениями спина. Группы частиц, объединённые в супермультиплеты, должны, следовательно, повторяться с различными значениями спинов (отличающимися на чётное число). Т. е. наряду с октетом барионов со спином ¹/₂ должны существовать октеты барионов со спином ⁵/₂, ⁹/₂ и т. д. Т. о., получается некоторый аналог периодической системы Менделеева и реджевские траектории, объединяющие частицы с одинаковыми внутренними характеристиками, аналогичны её столбцам.

Как показывает опыт, реджевские траектории для частиц являются приближённо линейными функциями от квадрата их масс (рис. 5). Траектория, на которой лежат резонансы с квантовыми числами (кроме l) вакуума (I = J = 0, чётность Р = + 1), играет важную роль для феноменологического описания процессов рассеяния, определяя полное сечение при очень высоких энергиях (она называются вакуумной траекторией, или траекторией Померанчука). Процессы, в которых происходит передача заряда, странности и др. квантовых чисел (например, p^– + р ® p^q + n), при феноменологическом анализе описываются траекториями Редже с соответствующими квантовыми числами («реджеонами»).