Целостный метод - теория и практика

На основании этого можно получить следующие модели:

C = < {A0, ?a, E0, ?e,}, W, ?c >,

P = < {В0, ?в, D0, ?d }, W, ?р >.

В полученных математических моделях разделены полные, основные и дополнительные системные объекты: системы, процессы, структуры, элементы и элементарные процессы.

• Элементарная система, элементарная структура и элементарный процесс. Элементы а, е представляют собой, по сути, элементарные структуры, а в сочетании с элементарными процессами они образуют элементарные системы – элементарные целенаправленные системы sa и элементарные системы взаимодействия se:

sa= < {а, b }, ?, ?, ?0 >; sa = < a ? b, ?, ?0 >;

se= < { e, d }, ?, ?, ?0 >; se = < e ? d, ?, ?0 >.

Каждая i-ая система sai образует с некоторой системой seij элементарную полную систему sij, реализующую элементарную часть системного процесса достижения цели (т.е. реализующую преобразование предмета труда, начиная от момента поступления его на вход элемента аi и кончая моментом поступления его на вход элемента aj):

sij=sai ? seij; sij= <{ai, bi, eij, dij}, wi, wij, фi, фij >,

где wi, wij, фi, фij определяют операции и отношения на множестве-носителе системы sij, напр., операции ?,? и отношения ?, ? и др. Число систем sij равно числу элементов aj, со входами которых соединен выход элемента ai.

Цель fij, реализуемая системой sij, будет состоять из двух компонентов: цели fi, описывающей изменение параметров перерабатываемого ресурса в целенаправленной части sai системы sij и изменения ?ijfi происходящего во взаимодействующей части seij при транспортировании или складировании предмета труда до момента поступления на вход aj :

fij = { fi, ?ijfi }

Очевидно, что система sij имеет общую часть sai с каждой системой sik.

Теорема 4.4.7.Система sij разложима на cистемы: основную целенаправленную saij и дополнительную seij:

sij= saij ? seij;

saij= < { ai0, bi0, ?еij, ?aij }, wj, wy, фi, фij >;

seij = < {?ai, ?вi, dij0, eij0 }, wj, wy, фi, фij >.

Справедливость (4.4.16) очевидна из предыдущего изложения.

Теорема 4.4.8. Модели полной, основной и дополнительной систем S, Sa, Sе представляют собой теоретико-множественные объединения элементарных систем sij, sаij, sеij:

S = < ? sij, W, ? >;

Sa = <? sаij, W, ? >;

Se = <? sеij, W, ?>.

• В результате теоретико-множественного объединения sij, sаij, sеij сформируются множества-носители систем S, Sa, Se и, кроме того, объединение множества операций и отношений W' и ?', определенных на элементарных системах:

S = < { А, В, D, Е }, W', ?', W0, ?0 >,

Sa = < { A0, B0, ?d, ?e }, W', ?', W0, ?0 >,

Se = < {?a, ?в, D0, E0 }, W', ?', W0, ?0 >.

Множества операций W0 и предикатов ?0 формируются в процессе создания систем S, Sa, Se из элементарных систем: вводится отношение порядка ?, определяется набор предикатов и соответствующие отношения на множестве-носителе, отвечающие выбранным предикатам и т.д. В результате формируются множества W и ? систем S, Sа, Se: W=W' ? W0, ? = ?' ? ?0 и модели S, Sа, Se приводятся к виду (4.4.1).

• Изоморфизм и декомпозиция моделей. Изоморфизмом системы S на системы Sа, Se и др. будет взаимнооднозначное отображение множества-носителя системы S на множества-носители систем Sа, Se и др., сохраняющее главные операции и предикаты модели (4.4.1).

Изоморфизм рассмотрим на графовых моделях систем, процессов, структур. Два графа G1 = G1(V1, H1) и G2= G2(V2, H2) считаются изоморфными, если существует взаимооднозначное отображение такое, что V1 взаимнооднозначно отображается на V2 и H1 взаимнооднозначно отображается на H2, т.е. каждой вершине из V1 соответствует одна и только одна вершина из V2 и наоборот, а каждому ребру из H1 соответствует одно и только одно ребро из H2 и наоборот, каждому ребру из Н2 соответствует одно и только одно ребро из Н1.

Графы процессов и структур определим следующим образом:

G (P) = G (B,D), G(Pa)=G(B0, ?d), G(Pe)= G(?в, D0),

G( C) = G (A, E), G(Ca) = G (A0, ?e), G (Ce)=G(?a, E0).

Сформулируем следующий результат.

Теорема 4.4.9.Графы G(Р), G(С), G(Pa), G(Pe), G(Ca), G(Ce) изоморфны.

Доказательство его следует из очевидного здесь факта: изоморфны между собой множества в каждой тройке множеств: В, В0, ?в; A, Aо, ?a; D, D0, ?d; E, E0, ?e.

Графы систем определим следующим образом, как прямые суммы:

G (S) = G (P) ? G ( C);

G (Sa) = G(Pa) ? G (Ca);

G(Se) = G(Pe) ? G(Ce).

Теорема 4.4.10. Графы G(S), G(Sa), G(Se) изоморфны.

Эти графы изоморфны, так как в соответствии с предыдущим результатом изоморфны их части, не пересекающиеся по вершинам и ребрам.

Графы процесса и структуры также могут быть представлены в виде прямых сумм частей, не пересекающихся по вершинам и ребрам:

G (P) = G(Pa) ? G (Pe); G(C) = G (Ca) ? G(Ce).

В силу этого можно сформулировать

Теорема 4.4.11.Графы G (S), G(Sa), G(Se), G(P), G(C) изоморфны.

• Полученные результаты позволяют сформировать следующую процедуру декомпозиции при исследовании систем. Вполне очевидно, что переход от графа G (S) к графу G(Sa) или G(Se) означает переход от более сложных задач к более простым. В то же время модель любого системного объекта, в том числе Sa и Se, можно представить в виде модели полной системы и вновь разложить его на модели G(Sa), G(Se) и др. Новая декомпозиция будет означать дальнейшее упрощение задач исследования системы. В то же время при повторной декомпозиции модели, как и при первой., вновь будут определены отношения взаимосвязи между частями модели. Сохраняя отношения взаимосвязи на каждом этапе, можно перейти к системе с более простыми задачами исследования – к «простой» системе, задачи которой разрешимы для исследователя. Затем можно, используя отношения взаимосвязи, перейти к решению задач исходной системы, как к некоторой композиции задач «простых» систем. Возможно, что «простая» система – это система, в которой нецелесообразно выделение дополнительной системы.

При такой декомпозиции не нарушается структура и процесс исследуемой системы, производится как бы расслоение системы. Образно можно определить, что это расслоение модели системы, декомпозиция «по толщине», возможная для математических моделей любых систем, когда каждая вершина и ребро графовой модели могут «расслаиваться» на две части в соответствии с определениями (4.4.5) – (4.4.7). Описанный способ декомпозиции вполне применим и в сочетании с известными методами.

• Алгоритм применения математических моделей. Рассмотрим на следующих примерах. Итак, в общем случае математические модели системы, процесса, структуры, элемента, элементарной структуры, элементарного процесса состоят из двух частей: одна основная, предназначена для реализации целей создания системы (Sa, Pa, Ca и др.), другая служит для обеспечения процессов взаимодействия в системе (Se, Pe, Ce и др.).