Чего не знает современная наука

В первом примере важно то, что чем выше человек, тем больше возможность включения его в «нечеткое множество высоких людей». Так же и во втором: чем больше зерен, тем больше возможность назвать их кучей. И хотя эта возможность какого-либо утверждения или события в нечеткой математике задается некоторым числом (нулем – если что-то невозможно, единицей – если вполне возможно, числом между нулем и единицей – если возможно до некоторой степени), конкретное ее числовое значение совершенно не важно, а используется исключительно для того, чтобы сравнить его со значением возможности другого события и выяснить, какое из них более возможно. Таким образом, с точки зрения нечеткой математики весь мир можно представить в виде событий, выстроенных в цепочку, в начале которой идут самые возможные события, а в конце – совершенно невозможные.

На первый взгляд такая математика кажется чрезвычайно бедной. Ну, действительно, как можно описать реальность, если нельзя использовать знания о количественных характеристиках явления, а только о порядке, определяемом его возможностью? Но тем не менее оказалось, что в рамках моделей теории возможности можно решать множество важнейших проблем, например, проблему оптимального выбора, ту самую, частные задачи которой мы постоянно и порой неосознанно решаем в своей жизни.

Действительно, ведь, для того чтобы выбрать стратегию поведения, влекущую наименьшие потери, нам в первую очередь важно знать, что все другие стратегии хуже, и только потом мы интересуемся, насколько хуже. А для ответа на первый вопрос и нужно лишь построить цепочку стратегий, упорядоченных по возможности потерь.

Ну а какое отношение теория возможностей имеет к обсуждаемой нами проблеме точности научного описания реального мира? Оказалось, что и для таких «бедных» теоретико-возможностных моделей можно построить и методы проверки гипотез, и методы оптимального оценивания. Причем, несмотря на то что построение теоретико-возможностных моделей требует значительно меньше исходных сведений, чем это нужно для теоретико-вероятностных, результат подчас не хуже, а во многих ситуациях и лучше.

Нечеткость как фундаментальное свойство мира

Но все же остается вопрос: можно ли вообще обойтись без нечеткости, можно ли в принципе определить «бесконечно точно» числовые значения тех параметров, которыми мы пытаемся описать мир в его математических моделях? Можно ли надеяться на то, что когда-нибудь, пусть через бесконечное число поколений, мы обретем знание обо всех механизмах действия природы и научимся бесконечно точно измерять и вычислять? Ответ в какой-то степени дает физика микромира, объявляющая, что фундаментальным свойством микрообъектов является неопределенность значений их параметров. Чтобы описать этот факт математически, в квантовой физике используют стохастические модели, в которых «амплитуды вероятностей» проявляются в частоте повторяющихся исходов или в экспериментах, в которых участвуют большие ансамбли объектов. Тем самым свойства объектов связываются с процессом их наблюдения. А если нет возможности наблюдать последовательности явлений? Тогда можно предположить, что сами объекты микромира «нечетки» и характеризуются лишь возможным набором значений с указанием порядка от более возможных к менее возможным. В таком нечетком мире нет полной предопределенности, его будущее размыто и может быть реализовано во множестве вариантов.

* * *

Уже привычным стало представление о том, что математика нужна лишь для вычислений. А число, учат нас в средней школе, – это то, что служит для выражения количества. Как-то даже обидно: во времена античности числам приписывали великую тайную силу, способность управлять миром, в них видели зашифрованными высокие принципы эволюции, а в современном мире их роль сведена до положения «слуг точных наук». Но вот в последнее столетие в математике появился ряд разделов, в которых конкретные значения результатов расчета не важны, а математическая модель нужна для того, чтобы определить, по какому из возможных путей пойдет развитие в описываемой ситуации. Такова, например, качественная теория динамических систем, выводы которой имеют скорее философскую, нежели количественную ценность («выживет» или нет та или иная система, сохранит ли устойчивость или разрушится и т. п.). К этим же разделам относится и обсуждаемая здесь теория возможностей – в ней числа используются уже не только для описания количества, но и для задания порядка. Может быть, так возвращается в наш мир одна из утраченных граней философского понимания математики?

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Закон и порядок

Всем нам хочется порядка и определенности. Но желание порядка наталкивается на уверенность в том, что порядка все равно не будет и никакие законы тут не помогут. Да и могут ли люди, имеющие совершенно разные интересы и устремления, установить некий общий порядок, договориться и написать законы, устраивающие всех?

Строгость законов в России компенсируется необязательностью их исполнения.

Из классиков

Прежде чем отвергать саму возможность существования «идеального» порядка, установленного людьми, стоит обратиться к порядку в Природе. Даже при беглом взгляде видно, что все в природе организовано неким разумным образом, все упорядочено. Солнце всходит и заходит, задавая общий ритм природе и давая достаточно света и тепла для развития жизни. Растения и животные образуют весьма устойчивую систему, благодаря которой все обладают возможностями для существования, и хотя они никак не могли договориться между собой, законы их жизни проще и понятнее, чем создаваемые людьми, и действуют намного более эффективно и разумно. При этом законы природы никому и в голову не приходит нарушить. Как, например, можно нарушить закон всемирного тяготения?

Можно сказать, что порядок в природе является следствием действия некоторого количества всеобщих законов, действие которых распространяется на все существа: от амебы до слона. Более того, по этому порядку мы можем составить представление и о самих законах, действующих в природе и, соответственно, в человеке как ее части. Так, может быть, вместо того чтобы придумывать все новые и новые законы, системы норм и правил, стоит сначала представить себе идеальную модель порядка в обществе и государстве, а потом, исходя из этого порядка, открыть для себя законы, которые к нему ведут?

Вновь обратившись к жизни природы, мы увидим, что все в природе существует как бы «само по себе»: растения живут, ничего не прося и не требуя ни от других растений, ни от животных, животные тоже – в общем, каждый вид живет самостоятельно, как приспособился. Но, помимо прочих, существует и общий для всех закон, который заставляет каждое живое существо проходить в течение своей жизни фазы рождения, роста и «взросления», зрелости, старости и смерти. Этому закону, который мы называем эволюцией, подвластно все живое – от камня до человека, от молекул до звезд. Но куда он направляет жизнь?

Возьмем для примера бабочку. Она рождается гусеницей и какое-то время живет в таком виде, питаясь и накапливая силы перед дальнейшими метаморфозами. Но вот она образует кокон и словно умирает – по крайней мере, мы никогда ее больше не встретим в прежнем виде, так как через некоторое время из этого кокона вылетит бабочка. Век бабочки недолог, и через какое-то время она умрет снова, на этот раз «окончательно». Но так ли окончательно, если в тот же момент из коконов вылетят тысячи бабочек? Нам ведь не важно, какая бабочка-капустница сегодня радует наш взор – та же, что и вчера, или новая. Жизнь одной бабочки – как узелок огромного ковра под названием Жизнь Природы, а сколько миллионов узелков надо, чтобы получился крошечный фрагмент рисунка?..

Природа поколение за поколением шлифует, доводя до совершенства, различные виды и подвиды, создавая уникальные «кирпичики», из которых построено ее здание. Но чтобы увидеть это здание целиком, надо принять в качестве постулата, что все живое, начиная с отдельного организма и кончая видом и родом, не существует независимо и отдельно от всех других живых существ, а является лишь частью, этапом одного большого пути, и все многообразие живого – это словно многоцветный ковер или мозаичное полотно, которым выложена широкая дорога, ведущая из бесконечного для нас прошлого в столь же бесконечное будущее. Мысленно двигаясь вдоль этой дороги, мы увидели бы, как природа создает все более сложные и в то же время совершенные в чем-то организмы, стараясь заполнить все свои уголки жизнью. Тут будут и существа, способные жить в кипящих источниках, и другие, способные жить во льду, и живущие глубоко под водой в вечной темноте под огромным давлением, и летающие высоко над облаками.