Человеческое познание его сферы и границы

Вышеприведенное определение равенства может быть принято только, если p/h и q/h являются сравнимыми; если (как Кейнс считает возможным) ни одно из них не больше другого и все же они не равны, то от этого определения следует отказаться. Мы могли бы преодолеть это затруднение с помощью аксиом, касающихся обстоятельств, при которых вероятности должны быть сравнимыми. Когда они сравнимы, они лежат на одной линии между 0 и 1. В правой части вышеприведенного определения «p/h = q/h» мы должны тогда добавить, что P/h и q /h являются «сравнимыми».

Переформулируем теперь принцип индифферентности Кейнса. Он хочет установить обстоятельства, при которых p/h = q/h. Это будет иметь место, говорит он, если выполняются два условия (достаточные, но не необходимые). Пусть p будет f(a) и q будет f(b), тогда h должно быть симметричным по отношению к a и b, а f(a) и f(b) должны быть «неделимыми».

Когда мы говорим, что h является симметричным по отношению к а и b, мы имеем в виду предварительно, что если h имеет форму f(a, b), тогда f(a, b) = f(b, а). Это будет иметь место, в частности, если f(a, b) имеет форму g(a) g(b), что является случаем, когда информация, которую h дает об a и b, состоит из отдельных предложении, одного об a и другого об b, и когда оба предложения являются значениями одной пропозициональной функции.

Мы теперь положили p = f(a), q = f(b) и h = f(o, b). Наша аксиома должны быть о том, что, с соответствующей оговоркой, взаимозамена f(a) и f(b) и не может вызвать какую-либо разницу. Это предполагает, что

f(a)/f(a, b) = f(b)/f(a, b),

если только f(a) и (b) сравнимы по отношению к f(a, b). Это следует, если в качестве общего принципа

fa/ya = fb/b,

то есть если вероятность зависит не от частного субъекта, а от пропозициональных функций. Здесь есть, по-видимому, надежда прийти в этом направлении к такой форме принципа индифферентности, которая может быть более самоочевидной, чем форма Кейнса.

Исследуем для этой цели его условия неделимости. Кейнс определяет «f(a) делимо», как значение, что имеются такие два аргумента b и с, что 'fa " эквивалентно «fb или fc», а fb и yc не могут быть оба истинными, тогда как fb и fc оба возможны при данном h. Я не думаю, что это есть именно то, что он на самом деле хочет сказать. Я думаю, что мы подойдем ближе к тому, чего он хочет, если предположим, что о, b и с суть классы, для которых а есть сумма b и с. В этом случае f должно быть функцией, которая берет классы в качестве аргументов. Например, пусть о будет областью на мишени, разделенной на две части, b и c. Пусть «fa» будет значить, что «некоторая точка в а поражена», а fa» будет значить, что «некоторая точка в а взята на прицел». Тогда fa является делимым в вышеуказанном смысле, и мы не получаем

fa/ya = fb/\yb,

так как очевидно, что fa/ya больше, чем fb/yb.

Но остается неясным, что наше прежнее условие, именно, что h должно быть симметричным по отношению к а и b, оказывается недостаточным. Ибо теперь h содержит предложение «b есть часть а», которое не является симметричным.

Кейнс обсуждает условия для fa/ya = fb/yb и дает как пример неудачи случай, где fx = x есть Сократ. В этом случае, каково бы ни было значение fx,

f (Сократ) / y(Сократ) = 1,

тогда как если b не есть Сократ, то fb/yb =0. Чтобы исключить этот случай, я сделал бы оговорку, что «fx» не должно содержать «a». Беря аналогичный случай, допустим, что fx = x значит «убивает а» и что fx = x значит «живет в Англии». Тогда fa/ya есть вероятность, что а совершает самоубийство в Англии, тогда как fx/yx вообще есть вероятность, что а будет убит каким-то англичанином по фамилии x. Ясно, что в большинстве случаев fa/ya больше, чем fb/yb, потому что вероятнее, что человек совершит самоубийство, чем убьет другого, выбранного наудачу.

Таким образом, существенным условием, по-видимому, является то, что «fx» не должно содержать «a» или «b». Если это условие выполнено, то я не вижу, почему мы не можем получить

fa/ya = fb/yb.

Я заключаю, что принцип индифферентности на деле утверждает то, что вероятность есть отношение между пропозициональными функциями, а не между предложениями. Это и есть то, что имеется в виду под такой фразой, как «выбор наудачу». Эта фраза значит, что мы должны рассматривать какой-либо термин только как термин, удовлетворяющий определенной пропозициональной функции; тогда то, что сказано, в действительности относится к пропозициональной функции, а не к тому или иному ее значению.

Тем не менее остается кое-что существенное, являющееся тем, что действительно касается нас. Если дано отношение вероятности между двумя пропозициональными функциями fx и yx, то мы можем рассматривать его как отношение между fa и ya, если только «fx» и «yx» не содержит «a». Это необходимая аксиома во всех применениях вероятности к практике, так как именно частные случаи интересуют нас.

Я прихожу к выводу, что главный формальный недостаток теории вероятности Кейнса состоит в том, что он рассматривает вероятность скорее как отношение между предложениями, чем как отношение между пропозициональными функциями. Я сказал бы, что применение ее к предложениям относится к приложению теории, а не к самой теории.

ГЛАВА 6 СТЕПЕНИ ПРАВДОПОДОБИЯ

А. Общие соображения.

То, что все человеческое знание в большей или меньшей степени сомнительно, является доктриной, пришедшей к нам из древности; она провозглашалась скептиками и Академией в ее скептический период. В современном мире она подкрепляется прогрессом науки. Шекспир изображая смехотворность самого крайнего скептицизма, говорит:

Сомневаюсь, что звезды — огонь,Сомневаюсь, что солнце действительно движется.

Когда он писал это, последнее уже было поставлено под сомнение Коперником, а вслед за ним под еще более решительное сомнение Кеплером и Галилеем. Первое — ложно, если слово «огонь» употреблено в его химическом смысле. Многое, казавшееся несомненным, оказалось по всей вероятности неверным. Сами научные теории время от времени изменяются по мере того, как накапливаются новые данные; ни один разумный ученый не чувствует той уверенности в истинности какой-нибудь новой научной теории, какую чувствовали по отношению к теории Птолемея на протяжении всех средних веков.

Но хотя любая часть того, что мы хотели бы рассматривать как «знание», может быть в некоторой степени сомнительной, ясно, что кое-что почти достоверно, в то время как кое-что иное является продуктом рискованных предположений. Для разумного человека существует шкала сомнительности от простых логических и арифметических предложений и суждений восприятия нас одном конце до таких вопросов, как вопрос о том, на каком языке говорили микенцы или «какую песню пели сирены», на другом конце. Можно ли допускать какую-либо степень сомнительности к наименее сомнительным из наших верований, является вопросом, по поводу которого сейчас нам нет нужды беспокоиться; достаточно того, что любое предложение, в отношении которого у нас есть разумные основания для какой-то степени веры или неверия, может теоретически быть помещено на шкале между достоверной истиной и достоверной ложью. Включаются ли в эту шкалу сами эти границы, является вопросом, который мы можем оставить открытым.

Существует определенная связь между математической вероятностью и степенями правдоподобности. Связь эта следующая: когда в отношении всех доступных нам свидетельств какое-либо предложение имеет определенную математическую вероятность, тогда это определяет и степень его правдоподобия. Например, если вы собираетесь бросить кости, то предложение «выпадет двойная шестерка» имеет только одну тридцать пятую правдоподобия, приписываемого предложению «двойная шестерка не выпадет». Таким образом, разумный человек, приписывающий каждому предложению правильную степень правдоподобия, будет руководствоваться математической теорией вероятности в тех случаях, когда она применима.