Черные дыры и складки времени. Дерзкое наследие Эйнштейна

Представьте себе семью человекоподобных созданий, живущих во вселенной, имеющей всего два пространственных измерения. Пусть их вселенная искривлена (имеет вид поверхности с чашеобразной впадиной; см. рис. 3.2). Сами создания также двумерны; их размер в направлении, перпендикулярном поверхности, будем считать бесконечно малым. Кроме того, они не могут выглянуть из этой поверхности: световые лучи в их вселенной распространяются строго в пределах поверхности и никогда не покидают ее. У этих «плоскатиков», как я буду их называть, нет никакого способа узнать о том, что происходит вне их двумерного мира.

Плоскатики могут изучать геометрию своей вселенной, исследуя прямые линии, треугольники и окружности. Их прямые — это геодезические, о которых говорилось в главе 2 (рис. 2.4 и соответствующие пояснения): самые прямые линии, которые существуют в этом двумерном мире. На дне впадины, которое на рис. 3.2 имеет форму сферического сегмента, эти прямые линии являются частями больших кругов, подобно земному экватору или параллелям. Вдали же от впадины эта вселенная плоская, и прямые линии представляют собой прямые в нашем обычном понимании.

3.2. Двумерная вселенная, населенная «плоскатиками»

Если плоскатики рассмотрят любую пару параллельных прямых в этой плоской части вселенной (например, II и 12 на рис. 3.2), они обнаружат, что эти линии никогда не пересекаются. Таким образом, они могут убедиться, что эта часть их пространства действительно плоская. С другой стороны, если они построят параллельные линии L3 и L4 вдали от впадины, а затем продлят их до нее, стараясь сохранять их прямыми, насколько это возможно (так, чтобы они оставались геодезическими), они увидят, что на дне впадины эти линии пересекаются. Отсюда они могут заключить, что эта область пространства искривленная.

Плоскатики могут также проверить то, что область вдали от впадины плоская, и измерить кривизну пространства внутри впадины при помощи окружностей и треугольников. В плоской области длина любой окружности равна числу я (3,14159265), умноженному на ее диаметр. Во впадине длины окружностей будут меньше, например, длина большого круга вблизи ее дна, изображенного на рис. 3.2, равна двум с половиной диаметрам. Если плоскатики построят треугольник, стороны которого — прямые линии (геодезические), и вычислят сумму его внутренних углов, они получат 180° для треугольников в плоской области и больше, чем 180°, если треугольник находится в искривленной части вселенной.

Обнаружив посредством таких измерений, что их вселенная искривлена, плоскатики могут начать строить предположения о существовании трехмерного пространства, в котором находится их двумерная вселенная или в которое она вложена.

Они могут назвать это трехмерное пространство гиперпространством и фантазировать о его свойствах. Например, они могут пред-положить, что оно плоское в евклидовом смысле, т. е. параллельные прямые в нем никогда не пересекаются.

Нам с вами представить такое гиперпространство совсем несложно — это наше обычное трехмерное пространство. Однако плоскатикам сделать это было бы очень непросто. Более того, у них не было бы никакой возможности проверить, существует ли это гиперпространство на самом деле, ведь ни выйти из своей двумерной вселенной, ни бросить взгляд наружу из нее они не могут. Для них гиперпространство навсегда осталось бы лишь гипотезой.

Это третье измерение гиперпространства не имеет никакого отношения ко времени плоскатиков, которое они также могли бы назвать третьим измерением. В общей сложности, размышляя о гиперпространстве, плоскатики оперировали бы четырьмя измерениями: двумя пространственными измерениями своей вселенной, одним временным и одним дополнительным пространственным измерением гиперпространства.

* * *

Мы с вами — объемные существа и живем в трехмерном пространстве. Если бы мы провели исследования геометрии нашего пространства внутри и вблизи звезды шварцшильдовской геометрии, мы обнаружили бы, что оно искривлено, подобно тому, как в нашем примере была искривлена вселенная плоскатиков.

Можно строить предположения о высших измерениях — плоском гиперпространстве, в которое вложено наше искривленное трехмерное пространство. Оказывается, такое гиперпространство должно быть шестимерным, чтобы в него можно было вложить искривленное трехмерное пространство, подобное нашему (а если вспомнить, что наша Вселенная имеет еще временное измерение, всего измерений оказывается семь).

Наглядно изобразить наше трехмерное пространство, вложенное в шестимерное гиперпространство, мне ничуть не легче, чем плоскатикам — свое двумерное, вложенное в трехмерное. Однако существует прием, который окажет нам неоценимую помощь (см. рис. 3.3).

3.3. Кривизна трехмерного пространства внутри и вокруг звезды (слева вверху) и ее представление на вложенной диаграмме (справа внизу). Эта кривизна предсказывается шварцшильдовским решением уравнения Эйнштейна

Рис. 3.3 иллюстрирует мысленный эксперимент: тонкий лист разрезает звезду в плоскости ее экватора так, что совершенно одинаковые половинки звезды оказываются сверху и снизу. Хотя этот лист на рисунке кажется плоским, на самом деле он таким не является. Массивная звезда искривляет трехмерное пространство внутри и вокруг звезды, но изобразить это искривление на обычном рисунке (рис. 3.3, слева) невозможно. Это искривление выгибает лист, но на этом рисунке изгиб не виден. Однако мы можем исследовать форму искривления, если будем проводить геометрические измерения в нашем трехмерном пространстве, точно так же, как их делали плос-катики в своей двумерной вселенной. Такие измерения покажут, что существуют прямые, изначально параллельные линии, которые пересекаются в центре звезды, что длина любой окружности вблизи или внутри звезды меньше, чем ее диаметр, умноженный на число п, и что сумма внутренних углов любого треугольника в этой области больше 180°. Все эти свойства искривленного пространства предсказываются шварцшильдовским решением уравнения Эйнштейна.

Чтобы представить наглядно шварцшильдовскую кривизну, мы можем, подобно плоскатикам, мысленно перенести лист из искривленного трехмерного пространства нашей реальной Вселенной в воображаемое плоское гиперпространство (см. справа внизу на рис. 3.3). В этом не искривленном гиперпространстве лист может сохранить свою форму, лишь выгнувшись в том месте, где была звезда. Такие изображения двумерных поверхностей, взятые из нашей искривленной Вселенной и помещенные в гипотетическое плоское трехмерное пространство, и называются вложенными диаграммами.

Не следует поддаваться искушению отождествить третье измерение гиперпространства с третьим пространственным измерением нашей Вселенной. Третье измерение в гиперпространстве не имеет к измерениям нашего пространства никакого отношения. Это измерение, в которое мы не можем перейти и из которого не можем получить никакой информации; оно чисто вымышленное. Зато с его помощью мы сможем наглядно представить геометрию нашего искривленного пространства, пространства, где существуют черные дыры, гравитационные волны, сингулярности и червоточины (см. главы 6, 7, 10, 13 и 14).