Числа - основа гармонии. Музыка и математика

В пифагорейском строе соотношение частот для терций получается с помощью цепочки из четырех квинт. Используя смещение на одну или несколько октав, получим, что соотношение частот равно 81:64. Однако существует и другой способ определения терции с помощью простого соотношения 5/4 или, что равносильно, 80:64. Это чистая терция.

Отсюда следует, что в пифагорейском строе, представляемом в виде последовательности квинт, терции не являются чистыми. На белых клавишах пианино расположены три терции: до — ми, фа — ля и соль — си. Можно сказать, что пифагорейский строй состоит из чистых квинт в ущерб чистоте терций.

Диатонический строй

В результате поисков «чистого» натурального строя появилась новая система отношения звуков — диатонический строй. В пифагорейском строе звуки выражаются в виде последовательности квинт. Диатонический строй имеет более сложную структуру.

Начиная с ноты до, соблюдая интервалы в одну квинту, откладываются две следующие основные ноты этого строя: фа и соль. Далее определяются ми, ля и си, отстоящие на чистую терцию от до, фа и соль соответственно.

Последняя нота, ре, отстоит от ноты соль ровно на одну квинту:

Интервалы диатонического строя «чище» и более постоянны. Это проявляется и в том, что соотношения частот звуков диатонического строя относительно просты. Сначала, начиная с ноты до, частота которой принимается равной 1, рассчитываются частоты нот фа и соль, отстоящих от до на одну чистую квинту. Частота фа принимается равной 4/3, частота соль — 3/2. Далее рассчитывается частота ноты ми, отстоящей от до на 5/4.

Аналогично определяется частота ноты ля, которую отделяет от фа одна терция:

Си отстоит на одну терцию от соль:

И наконец, рассчитывается частота ре, которую отделяет от ноты соль одна чистая квинта со сдвигом в одну октаву:

Последовательность, определяющая интервалы диатонического строя, подчиняется структуре тональной музыки. К тональной музыке принадлежит подавляющее большинство музыкальных композиций, созданных за последние несколько веков, начиная от периода барокко и классики и заканчивая рок- и поп-музыкой, а также западной фолк-музыкой.

В тональной музыке ноты выстроены в иерархию вокруг главной ноты, которая называется тоникой, или тональным центром. Каждая нота выполняет определенную музыкальную «функцию» в произведении. Из-за этого некоторые ступени тональности (особенно те, в построениях которых участвуют диезы и бемоли, которым соответствуют черные клавиши пианино) настраиваются в зависимости от контекста. Эти варианты приведены в следующей таблице.

Неизбежные сложности

Диатонический строй не миновали проблемы, неизбежно возникающие из-за несовместимости основных интервалов — октавы, квинты и терции. Почти для всех квинт соотношение частот звуков равно 3/2, но для квинты ре — ля оно немного меньше: 40/27. При дополнении диатонического строя диезами и бемолями все усложняется еще больше: неизбежно появляется волчья квинта.

Было предпринято множество попыток решить эту проблему с помощью различных темпераций — систем, в которых трудности при построении строя решаются в ущерб чистоте некоторых интервалов. Изменение чистоты каждого интервала определяет его «окраску».

Хотя построением различных строев и темперированием достигается относительно приемлемое равновесие, оно всегда основывается на тонике — ноте, от которой отсчитываются все остальные.

Если тоника остается неизменной, не возникает никаких трудностей. Однако при смене тонального центра изменяется весь строй.

Несмотря на то что абсолютная частота звуков, соответствующих всем нотам, остается неизменной, смена тонального центра нарушает равновесие, что приводит к смене «окраски».

Если музыкальное произведение, тональным центром которого является нота до, исполняется на инструменте, настроенном от до, то произведение звучит в точности так, как было задумано. Представим, что мы хотим исполнить это же произведение, но на тон выше, то есть с центром в ре, на том же инструменте, который по-прежнему настроен от до. Мелодия покажется нам не только более высокой, но и фальшивой.

Чтобы убедиться в этом, подробно рассмотрим интервал ре — ля. В диатоническом строе соотношение частот для этого интервала равно не 3/2, а 40/27. В новой интерпретации с тональным центром в ре интервал ре — ля займет место интервала до — соль, соотношение частот для которого равно 3/2.

Решение проблемы

Пока что нам не удалось найти музыкальный строй, не содержащий «ненастроенных» интервалов. Неизбежно возникает вопрос: можно ли создать такой строй, в котором все соотношения между нотами оставались бы неизменными вне зависимости от выбора тонального центра? Эту проблему нельзя решить посредством уравнивания интервалов, изменяя частоту нот так, чтобы увеличить или уменьшить определенные интервалы. Решение задачи заключается в том, что октава изначально должна делиться на 12 равных интервалов. Эти 12 интервалов должны разбиваться на 12 равных полутонов, которые в сумме составляют одну октаву.

Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, еще в XVI веке предложил разделить октаву на 12 равных полутонов. Соотношение частот этих полутонов равнялось 18/17. Упорядочиванием 12 таких интервалов получались малые октавы и квинты, соотношение частот для которых равнялось 1,9855… и 1,4919… соответственно.

Подойдем к решению этой задачи с чисто математической точки зрения. Обозначим за х отношение частот звуков для последовательных полутонов такое, что 12 интервалов по х образуют октаву. На языке алгебры это означает, что должно выполняться равенство

Значение х, равное 1,059463094…, позволяет по определению получить идеальную октаву. Пифагорейская комма равномерно распределяется по всему строю.

Как вы уже увидели, во всех разновидностях музыкального строя, которые использовались в разное время, положение пифагорейской коммы определялось в зависимости от того, какой интервал считался самым важным. Самые важные интервалы сохранялись чистыми, остальные искажались. В строе с соотношением частот 1,059463094…, который называется равномерно темперированным строем, все интервалы «ненастроены» равномерно.

Чтобы определить частоту звуков для каждого интервала, необходимо составить цепочку из необходимого числа полутонов. Рассмотрим в качестве примера квинту. Она состоит из семи полутонов. Следовательно, отношение частот звуков, определяющих границы квинты, будет равно

х⁷ = (1,059463094…)⁷ = 1,498307071…

С помощью этого простого правила формируется строй из 12 нот. Соотношение частот для всех интервалов приведено в следующей таблице: <