Деление на ноль

Рене была слишком взрослой, чтобы испыты­вать страдания, свойственные вундеркинду, когда он вырастает и становится таким же, как все. С другой стороны, многие математики лучшие свои открытия сделали до того, как им исполнилось тридцать, - что если она начинает тревожиться, не приближается ли она, пусть с опозданием на не­сколько лет, к этому порогу?

Маловероятно. Он бегло рассмотрел несколько других версий. Может, она разочаровалась в акаде­мической науке? Ее пугает, что ее исследование стало слишком уж узкоспециальным? Или просто устала от того, что делает?

Карл не верил, что подобные страхи могут быть причиной поведения Рене; он без труда во­ображал себе впечатления, какие скопились бы у него, будь это так, и воображаемое не укладыва­лось в реальность. Что бы ни тревожило Рене, он был не в состоянии угадать, и это внушало ему беспокойство.

6

В 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы. Первая, по сути, показывает, что математика со­держит утверждения, которые, возможно, истинны, но по природе своей недоказуемы. Даже столь эле­ментарная формальная система, как арифметика, допускает утверждения строгие, осмысленные и ка­жущиеся истинными, однако эта истинность не может быть доказана формальным путем.

Его вторая теорема показывает, что претензия арифметики на полноту как раз и является таким утверждением: она не может быть доказана ника­ким методом, опирающимся на аксиомы арифме­тики. Иными словами, арифметика как формаль­ная система не может гарантировать от таких ре­зультатов, как «1 = 2». Предположим, с подобными противоречиями до сих пор никто не сталкивался, но невозможно доказать, что никто никогда с ними так и не столкнется.

6a

И снова он зашел в ее кабинет. Когда Рене подняла на него взгляд, Карл начал решительно:

— Рене, очевидно; что... Она его оборвала:

— Хочешь знать, что меня беспокоит? Ладно, я тебе скажу. — Достав чистый лист бумаги, Рене села за стол. — Подожди, это займет всего минутку.

Карл снова открыл было рот, но Рене махнула ему, чтобы замолчал. Сделав глубокий вдох, она начала писать.

Посередине она провела черту «верху вниз, раз­делив страницу на две колонки. Вверху первой по­ставила цифру 1, вверху второй — цифру 2. Ниже стремительно нацарапала какие-то символы, кото­рые в следующих строках развила в серию новых. Она скрежетала зубами, пока писала: было такое ощущение, что, рисуя значки, она ногтями скребет по грифельной доске.

Приблизительно в двух третях от начала стра­ницы Рене стала сводить длинные серии символов ко все более коротким. «А теперь завершающий штрих», — подумала она. Осознала, что слишком давит на бумагу, и ослабила хватку — пальцы уже не так сжимали карандаш. В следующей строке се­рии стали идентичными. Внизу страницы поверх разделительной черты она с силой вывела знак ра­венства.

Лист она протянула Карлу.

Он только поглядел на нее, показывая, что не понимает.

— Посмотри наверх. — Он посмотрел. — Теперь посмотри вниз.

Он нахмурился.

— Не понимаю.

— Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.

Карл как будто пытался что-то вспомнить.

— Это ведь деление на ноль, верно?

— Нет. Тут нет никаких запрещенных опера­ций, никаких некорректно заданных условий, ни­каких независимых аксиом, которые бы подразуме­вались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.

Карл покачал головой.

— Подожди-ка. Очевидно, что единица не рав­на двум.

— Но формально равна — доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное — в рамках абсолютно бесспорных утверждений.

— Но ты получила противоречие.

— Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.

6b

— Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?

— Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошиб­ки нет.

— Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?

— Точно.

— Ты... — Он остановился, но слишком позд­но. Она поглядела на него враждебно. Ну конеч­но, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.

— Теперь понимаешь? — спросила Рене. — Я опровергла большую часть математики. Иными сло­вами, она утратила смысл.

Она становилась все более возбужденной, по­чти пришла в смятение.

— Как ты можешь такое говорить? — Карл тща­тельно подбирал слова. — Математика все еще ра­ботает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.

— Это потому, что математика, которой они пользуются, всего лишь трюк. Мнемонический ко­стыль, как считать костяшки пальцев, чтобы опре­делить, в каком месяце тридцать один день.

— Но это не одно и то же.

— Почему же? Сейчас математика не имеет к реальности решительно никакого отношения. Куда там такие понятия, как мнимые числа и бесконечно малые величины! Теперь треклятое сложение целых чисел не имеет отношения к счету на пальцах. На пальцах один плюс один всегда выходит два, но на бумаге я могу дать бесконечное число ответов, и все они будут равно действительными и, следователь­но, равно недействительными. Я могу написать са­мую элегантную теорему на свете, а значить она будет не больше, чем какое-нибудь дурацкое урав­нение. — У нее вырвался горький смешок. — Пози­тивисты раньше говорили, что вся математика чистой воды тавтология. Они все напутали: она чистой воды противоречие.

Карл попытался зайти с другой стороны.

— Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.

— Не та же! Там решение заключалось в расши­рении контекста, а здесь это ничего не даст. Мни­мые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.

— Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете...

Она закатила глаза.

— Нет! Это следует из аксиом с такой же непре­ложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.

7

В 1936 году Герхард Гентцен привел доказатель­ство полноты арифметики, но для этого ему при­шлось прибегнуть к некоему спорному методу, изве­стному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и ка­залась мало уместной как гарантия непротиворечи­вости арифметики. Гентцен всего лишь доказал оче­видное, допустив сомнительное.