Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Учтены ли как-то подобные малые расхождения в теориях пространства? Одной из путеводных идей в создании общей теории относительности, гениальной теории об искривлении пространства, послужило Альберту Эйнштейну именно отклонение перигелия Меркурия от классической ньютоновской теории [54] . Согласно теории Ньютона, планеты движутся по идеальным эллиптическим орбитам. Точка, в которой планета ближе всего к Солнцу, называется перигелием, и, если теория Ньютона верна, планета должна ежегодно проходить строго через эту точку. В 1859 году в Париже Урбен Жан Жозеф Леверье сообщил, что перигелий Меркурия постоянно смещается — самую малость, всего 38 секунд в столетие, что, конечно же, никаких практических последствий не имеет. И тем не менее такое отклонение почему-то происходит. Леверье назвал это «чудовищным затруднением, достойным внимания астрономов». К 1915 году Эйнштейн достаточно развил свою теорию — и вычислил орбиту Меркурия; в эти расчеты обнаруженное отклонение вполне вписалось. По словам биографа
54
История про трудности с перигелием Меркурия изложена в: John Earman, Michael Janssen, and John D. Norton, eds., The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity (Boston: The Center for Einstein Studies, 1993), стр. 129–149. А еще есть хорошее, хоть и краткое, изложение этой же темы в: Abraham Pais, Subtle Is The Lord (Oxford: Oxford University Press, 1982), стр. 22, 253–255; цитата Леверье дана на стр. 254; «высшая точка» — на стр. 22. Геометрия всей этой истории изложена в: Resnikoff and Wells, стр. 334–336.
Целью Евклида было построить систему так, чтобы в ней не оставалось места для нечаянных допущений, основанных на интуиции, угадывании или приблизительности. Он ввел двадцать три определения [55] , пять геометрических постулатов и пять дополнительных постулатов, которые он назвал «Общими утверждениями». На этом фундаменте он доказал 465 теорем — практически все геометрическое знание его времени.
Евклид дал определения точке, линии (которая, согласно определению, может быть искривленной), прямой линии, окружности, прямому углу, поверхности и плоскости. Некоторые понятия он определил довольно точно. «Параллельные прямые, — писал он, — это прямые линии, которые, находясь на одной плоскости, продолженные до бесконечности в обоих направлениях, ни в одном из этих направлений не пересекаются».
55
Три хороших современных обзора «Начал» Евклида есть в: Kline, Mathematical Thought , стр. 56–88; Jeremy Gray, Ideas of Space (Oxford: Clarendon Press, 1989), стр. 26–41; Marvin Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries (San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1974), стр. 1–113.
Окружность, по словам Евклида, есть «плоская фигура, обозначенная одной линией (кривой) так, что все прямые линии, пересекающие ее и еще одну из точек внутри ее, называемую центром, равны друг другу». О прямом угле сказано так: «Когда прямая линия пересекает другую прямую линию, а образующиеся соседние углы равны друг другу, любой из этих углов — прямой».
Некоторые другие Евклидовы определения — например, точки или прямой — довольно расплывчаты и бесполезны: прямая — это «та, что лежит равномерно на всех точках, что на ней помещены». Это определение, вероятно, возникло из строительной практики — там прямоту линий проверяли, глядя из некой точки вдоль проверяемой прямой. Чтобы вникнуть в это определение, нужно загодя иметь в уме понятие прямой. Точка есть «то, у чего нет частей» — еще одно определение, граничащие с бессмыслицей.
Евклидовы общие утверждения более элегантны. Эти внегеометрические логические утверждения [56] , судя по всему, Евклид считал проявлениями бытового здравого смысла — в отличие от постулатов, что были вполне геометричны. Эту разницу обозначил ранее еще Аристотель. Всесторонне взвесив эти интуитивные допущения, Евклид, по сути, добавил их к постулатам, однако явно желал отличать их от чисто геометрических утверждений. Одно то, что Евклид счел необходимым вообще эти утверждения предъявить, указывает на глубину мысли:
56
Kline, стр. 59.
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
5. И целое больше части [57] .
57
Здесь и далее — пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. — Прим. пер.
Если же отложить в сторону эти предварительные замечания, геометрическая суть евклидовой геометрии покоится на пяти постулатах. Первые четыре просты и могут быть
сформулированы не без изящества. В современных терминах они звучат так:Евклидов постулат параллельности
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
Постулаты 1 и 2 вполне совпадают, похоже, с нашим житейским опытом. По ощущениям — да, мы понимаем, как нарисовать отрезок между двумя точками, и никогда не утыкались ни в какие препятствия в конце пространства, которые не дали бы нам продолжить прямую. Третий постулат несколько мудренее: он предполагает, что расстояния в пространстве заданы так, что длина отрезка при перемещении его с места на место не меняется, где бы ни рисовали круг. Четвертый постулат на вид прост и очевиден. Чтобы постичь его тонкости, вспомним определение прямого угла: это возникающий при пересечении двух прямых угол, равный всем остальным возникшим. Мы такое видели много раз: одна линия перпендикулярна другой, и все углы со всех сторон равны 90°. Но само определение этого не утверждает — оно даже не говорит нам о том, что значение этих углов всегда одно и то же. Можем вообразить мир, в котором эти углы будут равны 90°, если линии пересекаются в некой заданной точке, а если в какой-нибудь другой, то углы получатся другие. Постулат, утверждающий, что все прямые углы равны между собой, гарантирует, что такого быть не может. Это означает в некотором смысле, что линия выглядит одинаково по всей длине — своего рода условие прямизны.
Пятый же постулат Евклида, называемый постулатом параллельности, не настолько очевиден — в отличие от остальных. Это личное изобретение Евклида, а не часть великого корпуса знаний, который он документировал. Но ему, со всей очевидностью, собственная формулировка не нравилась — он изо всех сил старался избегать ее. Позднейшие математики ее тоже невзлюбили: она была недостаточно проста для постулата и требовала доказательства, как теорема. Вот она, в стиле, близком к оригиналу:
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Постулат параллельности (стр. 61) предлагает проверочный критерий тому, сходятся две расположенные на одной плоскости прямые, расходятся или параллельны. Рисунок в этом смысле очень помогает пониманию.
Существует множество разных, но эквивалентных друг другу формулировок постулата параллельности. Одна особенно наглядно демонстрирует то, что постулат говорит нам о пространстве:
Если есть прямая и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести одну и только одну прямую (в той же плоскости), параллельную данной.
Постулат параллельности может быть нарушен в двух случаях: несуществование параллельных прямых вообще или существование более чем одной линии, проведенной через данную точку параллельно данной прямой.
Нарисуйте на бумаге прямую, поставьте где-нибудь вне ее точку. Как на ваш взгляд — возможно ли, что провести ни одной параллельной линии через эту точку не удастся? А больше одной — возможно? Описывает ли постулат параллельности наш мир? Вообразима ли геометрия, в которой этот постулат можно нарушить — и при этом остаться в пределах математического смысла? Два последних вопроса в конце концов подвели нас к революции мышления: первый — в наших представлениях о Вселенной, второй — в понимании природы и смысла математики. Но 2000 лет подряд ни в одной области человеческого знания практически не существовало представления более общепринятого, чем «факт», зафиксированный в постулате Евклида: есть одна и только одна параллельная прямая.
Глава 6. Красавица, библиотека и конец цивилизации
Евклид — первый великий математик в длинной и, увы, обреченной череде александрийских ученых. Македоняне [58] — греки, обитавшие на севере континентальной Греции, — в 352 году до н. э. начали покорение и объединение эллинских земель под властью Филиппа II Македонского. После разгромного поражения афинские властители в 338 году до н. э. подписали мир на условиях Филиппа, фактически отказавшись от независимости греческих городов-государств. Всего два года спустя, посещая официальную церемонию, на которой была представлена статуя Филиппа в образе нового бога Олимпа, сам Филипп пал жертвой паршивой кадровой политики: его убил один из телохранителей. Его сын Александр — который Великий, — двадцати лет отроду, принял бразды правления.
58
H. G. Wells, The Outline of History (New York: Garden City Books, 1949), стр. 345–375. Линию времени см.: Jerome Burne, ed., Chronicle of the World (London: Longman Chronicle, 1989), стр. 144–147.