Философия Науки. Хрестоматия
Шрифт:
Гильберт был разносторонним ученым, которому не чужды проблемы смежных с математикой наук. Он много занимался проблемами теоретической физики, в которой нашел практические применения теории интегральных уравнений, а в одной из своих работ очень близко подошел к общей теории относительности Эйнштейна. Его деятельность, по словам известного французского математика Ж. Дьедонне, нашла свое отражение даже в таких теориях, которые он сам никогда не разрабатывал. Она была примером аксиоматического мышления, стремления к логической строгости и взыскательной честности, воплощением идеала настоящего математика.
Среди наиболее важных работ, изданных на русском языке, можно назвать «Основания геометрии» (М.;Л., 1948), «Основы теоретической логики» (в соавт. с В. Аккерманом. М., 1947),
Б.Л. Яшин
Фрагменты даны по кн.:
Гильберт Д. Основания геометрии. М.;Л., 1948.
Просматривая и сравнивая между собою многочисленные работы, посвященные принципам арифметики и аксиомам геометрии, мы, наряду с многочисленными аналогиями и случаями сходства между этими двумя предметами, замечаем, однако, и существенное различие в отношении метода исследования.
Припомним сначала, каким путем вводится понятие числа. Исходя из числа 1, обычно представляют себе что в процессе счета возникают следующие за ним целые рациональные положительные числа 2, 3, 4,... и развиваются законы счета с ними; затем приходят, опираясь на требование выполнимости вычитания во всех случаях к отрицательным числам; далее определяют дробные числа как пары чисел; в результате каждая линейная функция имеет корень, и, наконец, определяют действительное число как сечение или как фундаментальную последовательность, в силу чего всякая рациональная меняющая знак функция и вообще всякая непрерывная меняющая знак функция обращается где-либо в нуль. Этот метод введения понятия числа мы можем назвать генетическим методом, так как наиболее общее понятие действительного числа развивается в нем из простого понятия о числе путем последовательных обобщений.
Существенно иначе поступают при построении геометрии. Здесь обычно исходят из предположения о существовании всех элементов, т е. заранее предполагают, что существуют три системы вещей, а именно точки, прямые и плоскости, и затем, в существенном по примеру Евклида, устанавливают между этими элементами взаимоотношения посредством известных аксиом, а именно аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности. При этом возникает необходимость в доказательстве непротиворечивости и полноты этой системы аксиом, т е. требуется доказать, что применение установленных аксиом никогда не приведет к противоречию и, далее, что эта система аксиом достаточна для доказательства всех геометрических теорем. Избранный здесь способ исследования мы будем называть аксиоматическим методом.
Поставим себе вопрос, действительно ли для изучения понятия числа единственно подходящим методом является генетический метод, а для обоснования геометрии — аксиоматический метод. Представляет также интерес сопоставить друг с другом оба метода и исследовать вопрос о том, какой из этих методов надо будет предпочесть, когда будет идти речь о логическом исследовании основ механики или какой-либо другой физической дисциплины.
Мое мнение таково: несмотря на то, что генетический метод имеет высокое педагогическое и эвристическое значение, все же для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод. (С. 315-316)
<...> При исследовании основ геометрии можно было обойти некоторые трудности чисто арифметической природы; но при обосновании арифметики ссылка на другую основную дисциплину становится уже недопустимой. Я смогу с большей четкостью выявить те существенные трудности, которые встречаются при обосновании арифметики, если
я подвергну краткому критическому разбору взгляды отдельных исследователей.Л. Кронекер, как известно, усматривал в понятии целого числа коренной фундамент арифметики; он составил себе мнение, что целое число, и притом как общее понятие (значение параметра), должно существовать прямо и непосредственно; это мешало ему познать, что понятие целого числа нуждается в обосновании и может быть обосновано. Поскольку это так, я позволю себе назвать его догматиком: он воспринимает целое число с его существенными свойствами как догму, и затем уже не оглядывается назад.
Г. Гельмгольц представляет точку зрения эмпирика; однако точка зрения чистого опыта опровергается, как мне кажется, указанием на то, что из опыта, т.е. посредством экспериментов, никогда нельзя прийти к заключению о возможности или существовании сколь угодно большого числа, ибо число предметов, являющихся объектом нашего опыта, даже если оно велико, все же не превосходит некоторого конечного предела.
Э.Б. Кристоффеля и всех тех противников Кронекера, которые под влиянием правильного чувства, подсказывавшего им, что без понятия иррационального числа весь анализ оказывается осужденным на бесплодие, пытались спасти существование иррационально го числа путем отыскания «положительных» свойств этого понятия или другими аналогичными способами, — я позволю себе назвать оппортунистами. Однако опровержение точки зрения Кронекера, по моему мнению, ими, по сути дела, не было достигнуто.
Из ученых, которые глубже проникли в существо понятия «целое число», я упомяну следующих:
Ж.Фреге ставит себе задачу обосновать законы арифметики средствами логики, понимая эту последнюю в обычном смысле. Его заслугой является правильное понимание существенных свойств понятия «целое число», а также значение полной индукции.
Но, проводя последовательно свою точку зрения, он среди прочих положений принимает и тот основной закон, согласно которому понятие (множество) определено и может быть непосредственно применено, если только относительно каждого объекта известно, подпадает ли он под это понятие или нет: при этом он не налагает никаких ограничений на понятие «каждый» и, таким образом, оказывается под ударами тех теоретико-множественных парадоксов, которые заключаются, например, в понятии множества всех множеств и которые показывают, как мне кажется, что толкования и средства исследования логики, понятые в обычном смысле, не в состоянии удовлетворить тем строгим требованиям, которые ставит теория множеств. Устранение подобных противоречий и объяснение этих парадоксов следует с самого начала рассматривать как главную цель при исследованиях, касающихся понятия числа.
Р. Дедекинд ясно осознал те математические трудности, которые встречаются при обосновании понятия числа, и весьма проницательно начал с построения теории целого числа. Все же его метод я позволю себе постольку назвать трансцендентальным, поскольку он доказывает существование бесконечного путем, основная идея которого используется таким же образом и философами; этот путь я, однако, не могу признать удобопроходимым и надежным, так как при этом приходится пользоваться понятием совокупности всех вещей, а в этом понятии кроется неизбежное противоречие.
Г. Кантор чувствовал упомянутое противоречие, и это его чувство нашло свое выражение в том, что он различал «консистентные» и «неконсистентные» множества. Но так как Кантор не установил, по моему мнению, никаких строгих критериев для этого различия, то я его точку зрения по этому пункту должен характеризовать как оставляющую еще широкое поле для субъективного мнения и не дающую поэтому никакой объективной уверенности.
Я придерживаюсь того мнения, что все затронутые трудности могут быть преодолены и что можно прийти к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию понятия числа и притом с помощью метода, который я называю аксиоматическим. (С. 322-324)