Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi

Листинг 5.7. Стандартная сортировка методом вставок

procedure TDInsertionSortStd(aList : TList;

aFirst : integer;

aLast : integer;

aCompare : TtdCompareFunc);

var

i, j : integer;

Temp : pointer;

begin

TDValidateListRange(aList, aFirst, aLast, 'TDInsertionSortStd');

for i := succ(aFirst) to aLast do

begin

Temp := aList.List^[i];

j :=i;

while (j > aFirst) and (aCompare(Temp, aList.List^[j-1]) < 0) do

begin

aList.List^[j] := aList.List^[j-1];

dec(j);

end;

aList.List^[j] := Temp;

end;

end;

В приведенной реализации сортировки методом вставок имеется одна очень интересная особенность: значение текущего элемента сохраняется в локальной переменной, а затем при поиске нужного места его вставки (внутренний цикл) мы перемещаем каждый элемент, значение которого больше текущего, на одну позицию вправо, тем самым, перемещая "дыру" в списке влево. В конце концов, мы находим нужное место и помещаем сохраненное значение в освободившееся место.

Давайте посмотрим на внутренний цикл. Его выполнение завершается при соблюдении одного из двух условий: достигнуто начало списка, т.е. текущее значение меньше значений всех уже отсортированных элементов, или обнаружено значение, меньшее текущего. Тем не менее, обратите внимание, что первое условие проверяется при каждом выполнении внутреннего цикла, несмотря на то что оно соблюдается достаточно редко, когда текущее значение меньше, чем значения всех уже отсортированных элементов, однако оно предотвращает выход за пределы списка. Традиционным методом исключения этой дополнительной проверки является введение в начало списка сигнального элемента, который меньше любого другого элемента в списке. К сожалению, в общем случае минимальный элемент в списке заранее неизвестен и, кроме того, в списке нет места для вставки дополнительного элемента. (Теоретически потребуется скопировать весь список в другой, размер которого больше на один элемент, установить значение первого элемента в этом новом списке равным минимальному значению из сортируемого списка, а затем после сортировки скопировать элементы в исходный список. И все это ради того, чтобы исключить одну проверку. Нет уж, спасибо.)

Рисунок 5.5. Сортировка методом вставок

Существует более эффективный метод оптимизации: просмотреть весь список, найти элемент с наименьшим значением и переставить его на первое место (фактически это выполнение первого цикла Сортировки методом выбора). Теперь, когда первый элемент находится в требуемой позиции, можно выполнять стандартную процедуру метода вставок и игнорировать возможность выхода за начало списка.

Листинг 5.8. Оптимизированная сортировка методом вставок

procedure TDInsertionSort(aList : TList;

aFirst : integer;

aLast : integer;

aCompare : TtdCompareFunc);

var

i, j : integer;

IndexOfMin : integer;

Temp : pointer;

begin

TDValidateListRange(aList, aFirst, aLast, 'TDInsertionSort');

{найти наименьший элемент и поместить его в первую позицию}

IndexOfMin := aFirst;

for i := succ(aFirst) to aLast do

if (aCompare(aList.List^[i], aList.List^[IndexOfMin]) < 0) then

IndexOfMin := i;

if (aFirst <> indexOfMin) then begin

Temp := aList.List^[aFirst];

aList.List^[aFirst] := aList.List^[IndexOfMin];

aList.List^ [IndexOfMin] := Teufend;

{отсортировать с использованием метода простых вставок}

for i := aFirst+2 to aLast do

begin

Temp := aList.List^[i];

j := i;

while (aCompare(Temp, aList.List^[j-1]) < 0) do

begin

aList.List^[j] := aList.List^[j-1];

dec(j);

end;

aList.List^[j] := Temp;

end;

end;

Хотите верьте, хотите нет, но предварительная установка наименьшего значения в первую позицию и исключение дополнительной проверки выхода за границы списка при тестировании дала увеличение быстродействия примерно на 7%.

Как и три предыдущие рассмотренные нами алгоритма, сортировка методом вставок принадлежит к классу алгоритмов O(n(^2^)). Как и в случае с пузырьковой, сортировкой, если исходный список уже отсортирован, сортировка методом вставок практически не выполняет никаких действий помимо сравнения пар двух соседних элементов. Худшим случаем для сортировки методом вставок является ситуация, когда исходный список отсортирован в обратном порядке (как и для пузырьковой сортировки) - для попадания в требуемое место каждому элементу нужно пройти максимальное расстояние.

Тем не менее, если список частично отсортирован, и каждый элемент находится недалеко от требуемого места, сортировка методом вставок будет выполняться очень быстро. Фактически она превращается в алгоритм класса O(n). (Другими словами, внешний цикл выполняется n - 1 раз, а внутренний - всего несколько раз, что соответствует небольшому расстоянию элементов от их позиции в отсортированном списке.) Таким образом, во внутреннем цикле выполняется некоторое постоянное количество проходов (т.е. сравнений и перемещений), скажем, d. Для внешнего цикла, как мы уже говорили, количество проходов равно n - 1. Следовательно, общее количество сравнений и перемещений будет выражаться значением d(n- 1) (алгоритм класса O(n)). Несмотря на то что на практике частично отсортированные списки встречаются достаточно редко, тем не менее, возможна ситуация, когда с частично отсортированными списками можно сталкиваться гораздо чаще. Мы рассмотрим эту ситуацию немного ниже.

Сортировка методом вставок (любая ее вариация) принадлежит к группе устойчивых алгоритмов. Она сохраняет относительное положение элементов с равными значениями, поскольку поиск требуемой позиции для элемента завершается, когда найден элемент, значение которого меньше или равно значению текущего элемента. Следовательно, относительное положение элементов с равными значениями сохраняется.

Как и при пузырьковой сортировке, при сортировке методом вставок элементы попадают в нужные позиции только за счет смены позиций с соседними элементами. Если элемент находится далеко от требуемой позиции, его перемещение занимает много времени. Если бы только мы могли перемещать элементы не через соседние элементы, а сразу в некоторый диапазон, где текущий элемент должен находиться! Давайте познакомимся со вторым набором алгоритмов.

Быстрые алгоритмы сортировки

Алгоритмы второго набора работают быстрее всех тех методов, которые мы только что рассмотрели. Тем не менее, в отличие от набора самых быстрых сортировок, к которому мы вскоре перейдем, очень сложно выполнить их математический анализ. Несмотря на то что на практике алгоритмы этой группы выполняются достаточно быстро, используют их сравнительно редко.

Сортировка методом Шелла

Этот метод разработал Дональд Л. Шелл (Donald L. Shell) в 1959 году. Он основан на сортировке методом вставок и при первом рассмотрении может показаться несколько странным.

Сортировка методом Шелла (Shell sort) пытается повысить скорость работы за счет более быстрого перемещения элементов, находящихся далеко от нужных им позиций. Она предполагает перемещение таких элементов большими "прыжками" через несколько элементов одновременно, уменьшая размер "прыжков" и, в конце концов, окончательная установка элементов в нужные позиции выполняется с помощью классической сортировки методом вставок.

Выполнение сортировки методом Шелла на примере карточной колоды требует немало усилий, но не будем терять времени. Разложите колоду в длинную линию. Извлеките из колоды первую и каждую четвертую карту после первой (т.е., пятую, девятую и тринадцатую). Выполните сортировку выбранных карт с помощью метода вставок и снова поместите все карты в колоду. Извлеките из колоды вторую и каждую четвертую карту после второй (т.е., шестую и десятую). Выполните сортировку выбранных карт с помощью метода вставок и снова поместите все карты в колоду. Выполните те же операции над третьей и каждой четвертой картой после третьей, а затем над четвертой и каждой четвертой картой после четвертой.