Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi

Вставка и удаление с использованием бинарного дерева

Если мы всерьез намереваемся использовать бинарное дерево, необходимо рассмотреть, как выполняется добавление в дерево элементов (т.е. узлов), удаление элементов из дерева и посещение всех элементов дерева. Последняя операция позволит выполнять поиск конкретного элемента. Поскольку выполнение последних двух операций невозможно без рассмотрения первой, начнем с рассмотрения вставки узла в бинарное дерево.

Чтобы иметь возможность вставить узел в бинарное дерево, необходимо выбрать родительский узел, к которому можно присоединить новый узел в качестве дочернего, и более того, этот узел не может уже иметь два дочерних узла. Мы должны также знать, каким дочерним узлом - левым или правым - должен стать новый узел.

При заданном родительском узле и указании дочерних узлов слева направо код для вставки узла очень прост. Мы создаем узел, устанавливаем в качестве значения его поля данных элемент, который добавляем в дерево, и определяем обе его дочерние связи как nil. Затем, во многом подобно вставке узла в двусвязный список, мы устанавливаем соответствующий дочерний указатель родительского узла так, чтобы он указывал на новый дочерний узел, а )родительский указатель дочернего узла - на родительский узел.

Листинг 8.2. Вставка в бинарное дерево

function TtdBinaryTree.InsertAt(aParentNode : PtdBinTreeNode;

aChildType : TtdChildType; aItem : pointer): PtdBinTreeNode;

begin

{если родительский узел является нулевым, считаем, что выполняется вставка корневого узла}

if (aParentNode = nil) then begin

aParentNode := FHead;

aChildType :=ctLeft;

end;

{выполнить проверку mos о, установлена ли уже дочерняя связь}

if (aParentNode^.btChild[aChildType]<> nil) then

btError(tdeBinTreeHasChild, 'InsertAt');

{распределить новый узел и вставить в качестве требуемого дочернего узла родительского узла}

Result := BTNodeManager.AllocNode;

Result^.btParent := aParentNode;

Result^.btChild[ctLeft] :=nil;

Result^.btChild[ctRight] := nil;

Result^.btData := aItem;

Result^.btExtra := 0;

aParentNode^.btChild[aChildType] := Result;

inc(FCount);

end;

Обратите внимание, что приведенный в листинге 8.2 код вначале проверяет, является ли добавляемый узел корневым. Если да, то переданный родительский узел равен nil. В этом случае метод инициализирует родительский узел значением внутреннего заглавного узла.

Кроме этой проверки метод InsertAt убеждается, что дочерняя связь, которую предполагается использовать для нового узла, действительно не используется. В противном случае это будет грубой ошибкой.

Обратите внимание, что класс бинарного дерева (составной частью которого является этот метод) использует диспетчер узлов для распределения и освобождения узлов. Поскольку все узлы имеют одинаковый размер, в этом, как было сказано в главе 3, заложен глубокий смысл.

А как выполняется удаление узлов? Эта задача несколько сложнее, поскольку узел может иметь один или два дочерних узла. Первое правило удаления может быть сформулировано следующим образом: листовой узел (т.е. не имеющий дочерних узлов) может быть удален без каких-либо нежелательных последствий. При этом мы выясняем, каким дочерним узлом родительского узла является лист, и устанавливаем соответствующую дочернюю связь равной nil. После этого узел может быть освобожден.

Второе правило удаления из бинарного дерева применяется в отношении случая, когда удаляемый узел имеет один дочерний узел. Эта задача также достаточно проста: мы просто перемещаем дочерний узел вверх по дереву, чтобы он стал тем же дочерним узлом родительского узла, каким является удаляемый узел.

Третье правило применяется к случаю, когда удаляемый узел имеет два дочерних узла. Как и можно было предположить, это правило звучит просто: узел не может быть удален. Попытка сделать это является ошибкой. Позже мы рассмотрим вариант бинарного дерева - дерево бинарного поиска, - который содержит достаточный объем дополнительной внедренной в дерево информации, чтобы можно было обойти это ограничение.

Листинг 8.3. Удаление из бинарного дерева

procedure TtdBinaryTree.Delete(aNode : PtdBinTreeNode);

var

OurChildsType : TtdChildType;

OurType : TtdChildType;

begin

if (aNode = nil) then

Exit;

{выяснить, имеется ли единственный дочерний узел, и то, каким узлом он является; при наличии двух дочерних узлов сгенерировать ошибку}

if (aNode^.btChild[ctLeft] <> nil) then begin

if (aNode^.btChild[ctRight] <> nil) then

btError(tdeBinTree2Children, 'Delete');

OurChildsType :=ctLeft;

end

else

OurChildsType :=ctRight;

{выяснить, является ли дочерний узел левым или правым дочерним узлом данного родительского узла}

OurType := GetChildType(aNode);

{установить дочернюю связь данного родительского узла равной данной дочерней связи}

aNode^.btParent^.btChild[OurType] := aNode^.btChild[OurChildsType];

if (aNode^.btChild[OurChildsType] <> nil) then

aNode^.btChild[OurChildsType]^.btParent := aNode^.btParent;

{освободить узел}

if Assigned(FDispose) then

FDispose(aNode^.btData);

BTNodeManager.FreeNode(aNode);

dec(FCount);

end;

В листинге 8.3 не учтен случай, когда удаляемый узел является нулевым. В любом случае в этой ситуации мало что можно сделать, а генерация исключения была бы излишней. Поэтому метод проверяет, чтобы удаляемый узел не имел двух дочерних узлов. Однако он не разделяет два других случая удаления (т.е. случаи отсутствия дочерних узлов и наличия только одного дочернего узла), а объединяет их в один случай, когда один дочерний узел замещает узел, даже если дочерний узел является нулевым. GetChildType - это небольшая функция, которая возвращает информацию о том, является ли ее параметр узла левым или правым дочерним узлом родительского узла.

Перемещение по бинарному дереву

После того, как мы рассмотрели построение бинарного дерева, можно рассмотреть вопрос о том, как посетить все узлы такой структуры. Под посещением подразумевается выполнение той или иной обработки хранящегося в узле элемента. Такой обработкой могло бы быть как выполнение простой операции, подобной записи данных в узел, так и реализация более сложных действий.

В отличие от связных списков, где перемещение по структуре определено однозначно (достаточно следовать всем указателям Next (следующий), пока не будет достигнут конец списка), в бинарном дереве в каждом узле можно выбрать один из двух путей, и поэтому процесс несколько усложняется. Процедуру перемещения по дереву называют обходом (traversal). Существуют четыре основных алгоритма обхода - обходом в ширину (pre-order), симметричным обходом (in-order), обходом в глубину (post-order) и обходом по уровням (level-order). Последний алгоритм - обход по уровням - наиболее прост для визуального представления, но наиболее сложен для кодирования. Этот алгоритм предполагает посещение каждого из узлов, начиная с корневого, и просмотр узлов сверху вниз, уровень за уровнем. На каждом уровне мы посещаем узлы слева направо. Таким образом, мы посещаем корневой узел, левый дочерний узел корневого узла, правый дочерний узел корневого узла, левый дочерний узел левого дочернего узла корневого узла, правый дочерний узел левого дочернего узла корневого узла и т.д. Снова обратившись к рисунку 8.1, мы видим, что при обходе по уровням посещение узлов выполнялось бы в следующем порядке: d, b, f, а, с, е, g.

Обход в ширину, симметричный обход и обход в глубину

Прежде чем приступить к описанию остальных трех алгоритмов обхода, которые взаимосвязаны, приведем несколько иное определение бинарного дерева. Бинарное дерево состоит из корневого узла, содержащего указатели на корневые узлы двух других бинарных деревьев, называемых дочерними. Указатели на любой или оба дочерних узла могут быть нулевыми. Это определение описывает бинарное дерево очень кратко, хотя и рекурсивно. Тем не менее, оно представляет собой идеальный способ описания остальных трех видов обхода.