ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
Шрифт:
Возможно, что прочитавшие внимательно эту главу найдут самым важным в ней следующий факт: система pr, по всей видимости, заставляет нас признать, что поначалу абстрактные символы неизбежно приобретают некое значение, по крайней мере, если мы находим какой-либо изоморфизм. Однако между значением в формальных системах и значением в языке есть важное различие. Различие это заключается в том, что, выучив значение какого-либо слова, мы составляем затем новые предложения, основанные на этом значении. В определенном смысле значение становится активным, так как оно порождает новые правила создания предложений. Это означает, что наше владение языком не является законченным продуктом, правил производства предложений становится все больше по мере того, как мы выучиваем новые значения. С другой стороны, в формальных системах
В системе MIU, разумеется, у нас не возникает искушения выйти за пределы четырех правил, так как мы не собираемся искать в ней никаких интерпретаций. Однако здесь, в нашей новой системе, мы можем соблазниться новоприобретенным «значением» каждого символа и решить, что строчка
– -p--p--p--r--------
является теоремой. По крайней мере, у нас может появиться такое желание; однако это не меняет того факта, что эта строчка — не теорема. Было бы грубой ошибкой думать, что она «должна» быть теоремой, только лишь потому, что 2 плюс 2 плюс 2 плюс 2 равняется 8. Более того, было бы неверно приписывать этой строчке вообще какое бы то ни было значение, поскольку она не является правильно построенной, в то время как наша интерпретация полностью выводится из наблюдения над правильно построенными строчками.
В формальной системе значение должно оставаться пассивным; мы можем прочитывать каждую строчку в зависимости от значения символов, ее составляющих, но нам не позволено создавать новые теоремы,основываясь назначениях, которые мы придаем этим символам. Интерпретированные формальные системы находятся на границе между системами без значения и системами со значением. Мы можем считать, что их строчки что-то выражают, но это является не более как следствием формальных особенностей данной системы.
А теперь я хочу рассеять ваши иллюзии по поводу того, что мы нашли единственно правильное значение для символов системы pr. Рассмотрим следующее соотношение:
p <==> равняется
r <==> отнятое от
– <==> один
– - <==> два
и т. д.
Теперь – -p---r----- приобретает новое значение: «2 равняется 3 отнятым от 5». Разумеется, это истинное утверждение; более того, в новой интерпретации все теоремы системы будут истинны. Новая интерпретация ровно настолько же осмыслена, насколько и прежняя. Ясно, что глупо спрашивать, какое из двух значений является истинным на самом деле. Любая интерпретация истинна, если только она аккуратно отражает определенный изоморфизм с действительностью. Когда какие-либо аспекты действительности (в данном случае, сложение и вычитание) изоморфны между собой, одна и та же система может быть изоморфна обоим этим аспектам и в результате иметь два пассивных значения. Тот факт, что одни и те же символы могут иметь различные значения, чрезвычайно важен. В нашем примере это могло показаться вам тривиальным, или любопытным, или вообще неинтересным; однако когда мы вернемся к этой теме в более сложном контексте, читатель увидит, какое богатство идей она заключает.
Подведем итоги тому, что мы сказали о системе pr. В каждой из двух значащих интерпретаций, любая правильно построенная строчка соответствует какому-либо грамматическому высказыванию. Некоторые из этих высказываний окажутся истинными, некоторые — ложными. В любой формальной системе правильно построенными строчками являются те, которые, будучи проинтерпретированы символ за символом, порождают грамматические высказывания. (Безусловно, это зависит от самой интерпретации, но обычно мы уже имеем в виду какую-то одну из них.) Среди правильно построенных строчек некоторые являются теоремами. Теоремы определяются схемой аксиом и правилом вывода. Моей целью, когда я придумывал систему pr, являлась имитация сложения: каждая теорема, интерпретированная определенным образом, выражает истинный пример сложения; наоборот, каждое уравнение сложения двух целых положительных чисел может быть записано в форме строчки, оказывающейся теоремой. Эта цель была достигнута. Таким образом, заметьте, что все ошибочные примеры сложения, такие, как, например, 2 плюс 3 равняется 6, соответствуют правильно построенным строчкам, которые, однако, не являются теоремами.
Это был наш первый пример того, как формальная система может быть основана на фрагменте действительности
и точно отображать его в том смысле, что теоремы этой системы изоморфны истинным утверждениям данной части действительности. Однако надо иметь в виду, что действительность и формальные системы не зависят друг от друга. Никто не обязан знать об изоморфизме между ними. Каждая из этих систем существует сама по себе: 1 плюс 1 равняется 2, независимо от того, знаем ли мы, что – p-r-- является теоремой; с другой стороны, – p-r-- является теоремой, независимо от того, соотносим ли мы ее с примером сложения.Читатель может спросить, помогает ли создание этой (или любой другой) формальной системы узнать что-либо новое об области ее интерпретации. Выучили ли мы какие-нибудь новые примеры сложения путем производства pr– теорем? Разумеется, нет; однако мы узнали что-то новое о самом процессе сложения, а именно, что оно легко может быть имитировано с помощью типографского правила, управляющего абстрактными символами. Это пока не удивительно, так как сложение — весьма простое понятие. Всем известно, что суть сложения может быть «уловлена» скажем, при наблюдении за вращающимися шестеренками кассового аппарата.
Ясно, что мы затронули лишь самые начатки формальных систем; естественно, возникает вопрос, какие именно фрагменты действительности могут быть отражены при помощи набора бессмысленных символов, управляемых формальными законами? Может ли вся реальность быть превращена в формальную систему? В очень широком смысле кажется, что на этот вопрос можно ответить положительно. Мы можем предположить, например, что вся действительность — это не более чем весьма сложная формальная система. Ее символы находятся не на бумаге, а в трехмерном вакууме (пространстве); это элементарные частицы, из которых устроена вселенная. (Мы предполагаем здесь, что материя не делится до бесконечности, и что, таким образом, выражение «элементарные частицы» имеет смысл.) «Типографские правила» такой формальной системы — законы физики, которые, учитывая положение и скорость всех частиц в данный момент, говорят нам, какие изменения произойдут, и каковы будут новая скорость и положение частиц в «следующий» момент. Таким образом, теоремами этой огромной формальной системы являются все возможные конфигурации частиц во все времена истории вселенной. Единственной аксиомой здесь является (или являлось) первоначальное положение всех частиц в «начале времен». Однако это концепция столь грандиозна, что представляет лишь сугубо теоретический интерес; к тому же, достижения квантовой механики (и других областей физики) вносят некие сомнения даже и в чисто теоретическую ценность этой идеи. Проблема сводится к вопросу, функционирует ли вселенная по законам детерминизма; этот вопрос пока остается открытым.
Вместо того, чтобы иметь дело с такой огромной картиной, возьмем в качестве нашей «действительности» математику. Тут мы сталкиваемся с серьезным вопросом: можем ли мы быть уверены в точности нашей формальной системы, моделирующей какую-либо область математики, в особенности, если мы еще не изучили данную часть математики вдоль и поперек? Предположим, что цель формальных систем — дать нам новые знания по данной дисциплине. Каким образом мы узнаем, что интерпретация каждой теоремы истинна? Для этого пришлось бы доказать, что между формальной системой и данной частью математики существует полный изоморфизм. С другой стороны, подобное доказательство возможно только в том случае, если нам с самого начала уже известны все истинные утверждения данной дисциплины!
Представьте себе, что в каких-то раскопках мы обнаружили некую таинственную формальную систему. Вероятно, мы опробовали бы несколько интерпретаций, пока не наткнулись бы на такую, в которой каждая теорема была бы истинной и каждая не-теорема — ложной. Однако мы можем проверить это лишь на ограниченном количестве случаев, в то время как теорем, скорее всего, бесконечное множество. Можно ли утверждать, что все теоремы выражают истину в данной интерпретации, если нам еще не известно все и о формальной системе, и об области ее интерпретации?
В таком же положении мы оказываемся, когда пытаемся при помощи типографских символов формальной системы описать фрагмент действительности, представленный натуральными числами (то-есть, неотрицательными целыми числами: 0, 1, 2,…), . Попробуем понять отношение между тем, что мы называем «истиной» в теории чисел, и тем, к чему мы можем придти путем манипуляции символами.
Для начала посмотрим, какие основания у нас существуют для того, чтобы называть одни утверждения теории чисел истинными, а другие — ложными? Сколько будет 12 умножить на 12? Любой знает, что 144. Однако многие ли из тех, кто уверенно дает этот ответ, когда-либо рисовали прямоугольник размером 12 x 12 и подсчитывали составляющие его квадратики? Большинство людей считают, что эта процедура совсем не нужна. Вместо нее в доказательство своей правоты они предлагают несколько значков на бумаге, вроде тех, что показаны ниже: