Гиперпространство

Но, для того чтобы обрести интуитивное понимание этих концепций, важно начать с самого начала и действовать по порядку. Прежде чем мы освоимся с десятью измерениями, необходимо научиться манипулировать четырьмя пространственными. Пользуясь историческими примерами, мы рассмотрим изобретательные попытки, на протяжении десятилетий предпринимавшиеся учеными, чтобы создать осязаемое визуальное отображение многомерного пространства. Поэтому первая часть этой книги посвящена истории открытия многомерности — в первую очередь математику, с которого все и началось, Георгу Бернхарду Риману. Предвидя грядущее столетие научного прогресса, Риман первым заявил, что природа обретает свой естественный дом в геометрии многомерного пространства.

2. Математики и мистики

Любая достаточно развитая технология неотличима от магии.

Артур Кларк

Десятое июня 1854 г. — дата рождения новой геометрии.

Теорию многомерности сформулировал Георг Бернхард Риман, когда прочитал свою знаменитую лекцию в Университете Гёттингена в Германии. Подобно тому, как в сумрачную затхлую комнату проникает сияние теплого летнего солнца, лекция Римана пролила свет на ошеломляющие свойства многомерного пространства.

Его невероятно важный блестящий доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» опрокинул столпы классической греческой геометрии, с успехом выдерживавшие нападки скептиков на протяжении двух тысячелетий. Старая евклидова геометрия, в которой все геометрические фигуры рассматривались как двух- или трехмерные, рухнула, а из ее руин возникла новая геометрия — риманова. Революция Римана имела огромное значение для будущего искусства и науки. Не прошло и трех десятилетий после его доклада, как «таинственное четвертое измерение» оказало воздействие на развитие науки, философии и литературы в Европе. Уже через шесть десятилетий после выступления Римана Эйнштейн воспользовался четырехмерной римановой геометрией, чтобы объяснить возникновение Вселенной и ее эволюцию. А через 130 лет после знаменательного доклада физики обратились к десятимерной геометрии в попытке объединить все законы физической Вселенной. В основе трудов Римана лежало понимание того, что в многомерном пространстве физические законы упрощаются, чему, собственно, и посвящена данная книга.

Блеск и нищета

Как ни парадоксально, Риман совершенно не подходил для роли ученого, способного возвестить о столь глубокой и всесторонней революции в математической и физической мысли. Он был чрезвычайно, почти патологически застенчив и страдал возобновляющимися нервными срывами. Кроме того, Риману не давали покоя две беды, на протяжении истории погубившие многих величайших ученых: крайняя бедность и чахотка (туберкулез). В его характере и темпераменте никак не проявлялись поразительная дерзость, размах и непоколебимая убежденность, свойственные его трудам.

Риман родился в 1826 г. в Ганновере, Германия, и был вторым из шестерых детей бедного лютеранского пастора. Его отец, ветеран наполеоновских войн, трудился на поприще сельского священника не покладая рук, чтобы прокормить и одеть свое большое семейство. Как отмечает биограф Эрик Темпл Белл, «болезненность и ранние смерти большинства детей в семье Риманов были следствием недоедания в детстве и юности, а не отсутствием жизненных сил и стойкости. Их мать также умерла еще до того, как дети успели вырасти» [9] .

9

Э. Т. Белл «Математики» (E. T. Bell, Men of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1937), c. 484.

Уже в раннем возрасте Риман демонстрировал присущие ему особенности: поразительный талант к математике в сочетании с робостью и панической боязнью любых публичных выступлений, преследовавшей его на протяжении всей жизни. Болезненно застенчивый, он был мишенью для жестоких насмешек сверстников, что вынуждало его замыкаться в себе, все дальше уходить в свой тайный мир математики.

Вместе с тем Риман был всецело предан семье и не щадил сил и слабого здоровья, чтобы покупать подарки родителям и в особенности — любимым сестрам. На радость отцу Риман решил стать студентом-богословом. Его целью было получить выгодную должность пастора как можно скорее, чтобы помочь родным выбраться из финансовой пропасти. (Трудно представить себе менее вероятное развитие событий: молчаливый, косноязычный, робкий юноша воображал, что сумеет произносить захватывающие, страстные проповеди, обличая грех и изгоняя дьявола.)

В старших классах школы Риман прилежно штудировал Библию, но мыслями неизменно возвращался к математике; он даже пытался математически доказать правильность Книги Бытия. Он учился так быстро, что превосходил познаниями своих наставников, обнаруживших, что угнаться за этим подопечным невозможно. В конце концов директор школы, чтобы хоть чем-то занять юношу, дал ему увесистый фолиант. Это была книга Адриена Мари Лежандра «Опыт теории чисел», внушительный 859-страничный шедевр, на тот момент — наиболее полный из всех существующих в мире трактат, посвященный такому непростому предмету, как теория чисел. Риман проглотил его за шесть дней.

На вопрос директора «Ну как, много уже прочел?», юный Риман ответил: «Это поистине удивительная книга. Я одолел ее всю». Директор счел эти слова бравадой и спустя несколько месяцев задал хвастливому юнцу несколько сложных вопросов по книге, на которые Риман ответил блестяще [10] .

Изнуренный каждодневными поисками пропитания, отец мог бы отправить Римана работать. Однако пастор сумел скопить сумму, достаточную для поступления его 19-летнего сына в знаменитый Гёттингенский университет, где тот познакомился с Карлом Фридрихом Гауссом, признанным «королем математиков», одним из величайших математиков того времени. Даже сегодня в ответ на просьбу перечислить трех наиболее выдающихся математиков в истории любой математик назовет Архимеда, Исаака Ньютона и Карла Гаусса.

10

Э. Т. Белл «Математики» (E. T. Bell, Men of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1937), c. 487. Скорее всего, именно этот случай пробудил ранний интерес Римана к теории чисел. Много лет спустя он высказал знаменитое предположение касательно содержащей дзета-функцию формулы в теории чисел. За сто лет безуспешных сражений с «римановой гипотезой» величайшие математики мира так и не сумели доказать ее. Даже самые современные компьютеры не справились с этой задачей, и гипотеза Римана вошла в историю как одна из самых известных недоказанных теорем в теории чисел — вероятно, самая знаменитая в математике. Белл отмечает: «Тот, кто докажет или опровергнет ее, несомненно, прославится» (там же, с. 488).

В целом жизнь Римана была непрерывной чередой препятствий и бед, преодолевать которые удавалось с огромным трудом и напряжением и без того небольших сил. За каждым триумфом следовали фиаско и трагедия. Едва фортуна улыбнулась ему и он приступил к учебе у Гаусса, как Германию захлестнула волна революции. Рабочий класс, долго терпевший нечеловеческие условия жизни и труда, восстал против правительства, рабочие городов по всей Германии взялись за оружие. Эти демонстрации и волнения начала 1848 г. стали источником вдохновения для еще одного известного гражданина Германии — Карла Маркса и оказали заметное влияние на развитие революционного движения в Европе в последующие годы.

Когда волнения охватили всю Германию, учеба Римана прервалась. Его зачислили в студенческий отряд, где он удостоился сомнительной чести в течение 16 утомительных часов охранять особу, напуганную гораздо сильнее ее охранников, — короля, который трясся от страха в своем берлинском дворце, пытаясь укрыться от гнева рабочего класса.

За рамками евклидовой геометрии

Революционные бури бушевали не только в Германии, но и в сфере математики. Вопросом, которым заинтересовался Риман, стало неизбежное падение еще одного бастиона, авторитет которого ранее был непререкаем, — евклидовой геометрии, рассматривающей пространство как трехмерное. Более того, это пространство не только трехмерное, но и «плоское» (на плоскости кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая; исключается сама возможность, что пространство может быть изогнутым, как в случае со сферой).

Пожалуй, евклидовы «Начала» можно назвать наиболее влиятельной (после Библии) книгой всех времен. На протяжении двух тысячелетий проницательнейшие умы западной цивилизации восхищались ясностью мысли и красотой геометрических построений. Тысячи прекрасных соборов Европы были воздвигнуты согласно принципам этой книги. Оглядываясь назад, можно отметить, что успех «Начал» был чересчур велик. С течением веков она стала своего рода религией; к каждому, кто осмеливался предложить искривленное пространство или многомерность, относились как к безумцу или еретику. Бесчисленные множества поколений школьников сражались с теоремами евклидовой геометрии: длина окружности в раз превосходит ее диаметр, сумма углов треугольника составляет 180°. Но как ни бились веками самые светлые умы математики, им не удавалось найти доказательства обманчиво простых постулатов. В конце концов до европейских математиков начало доходить, что даже евклидовым «Началам», чтимым на протяжении 2300 лет, недостает полноты. Евклидова геометрия по-прежнему приемлема, если речь идет о плоских поверхностях, но в мире изогнутых поверхностей она неверна.