Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров
Шрифт:
Предисловие
Теорема Виета, сформулированная французским математиком Франсуа Виетом, дает возможность в отдельных случаях (для целых и, иногда, для дробных значений корней) быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта. В школьной алгебре теорема Виета (формула Виета) играет такую же ведущую роль, как и теорема Пифагора в геометрии, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало.
Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля.
При использовании в классно-урочной форме работы учитель может использовать
При использовании пособия для самостоятельной подготовки вы можете использовать ответы для самопроверки после решения выбранных примеров.
Ответы записаны в форме разложения квадратного уравнения на множители; если требуется получить значения самих корней, то нужно константные слагаемые в скобках брать с противоположными знаками.
Примечание. При использовании формулы Виета дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. В случае, если дискриминант равен нулю, считается, что данное уравнение имеет два равных друг другу корня.
Теорема Виета (краткие теоретические сведения)
Формулировка теоремы Виета:
Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Таким образом, если уравнение x2 + bx + c = 0 имеет два корня: x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:
Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x2 равен единице.
Доказательство теоремы Виета
Докажем теорему Виета.
Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):
Вычислим сумму этих корней:
Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:
.
Вычислим произведение корней:
Применив
в числителе формулу разности квадратов, получаем:Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:
Получаем:
Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.
Обратная теорема Виета
Формулировка обратной теоремы Виета:
Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.
Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.
Задания для самостоятельного решения
1. x2 – 28x + 171 = 0
2. x2 + 8x – 180 = 0
3. x2 – 10x – 75 = 0
4. x2 + 22x + 72 = 0
5. x2 + 0x – 289 = 0
6. x2 – 6x – 160 = 0
7. x2 + 1x – 30 = 0
8. x2 – 2x – 120 = 0
9. x2 – 14x + 40 = 0
10. x2 + 7x – 18 = 0
11. x2 – 6x – 160 = 0
12. x2 + 3x – 10 = 0
13. x2 + 6x – 7 = 0
14. x2 – 20x + 19 = 0
15. x2 + 5x – 50 = 0
16. x2 – 8x – 9 = 0